Перша квадратична форма регулярної поверхні

Нехай – регулярна поверхня, – її вектор-функція, що віднесена до криволінійних координат , тоді диференціал вектор-функції (тобто лінійна частина приросту цієї функції в ряду Тейлора) має вигляд:

(1), де – частинні похідні, – довільні дійсні числа, що можуть приймати скільзавгодно малі значення.

Скалярний квадрат – це: (2) називається першою квадратичною формою поверхні .

Знайдемо коефіцієнти цієї квадратичної форми. Підставляючи (1), (2), маємо:

Таким чином дійсно квадратична форма від змінних з коефіцієнтами:

Відмітимо, що взагалі коефіцієнти – це вектор-функції від . Але якщо точка поверхні фіксована, то коефіцієнти є сталими числами і значення квадратичної форми визначаються значеннями змінних. Відмітимо, що квадратична форма є додатньовизначеною, що випливає з (2), оскільки скалярний добуток приймає тільки додатні значення, крім випадку коли , а це можливо тільки коли , оскільки не є паралельними. З додатньої визначеності випливає, що у будь-якій точці :

Відмітимо, що крім позначення (2) для використовують також позначення . Розглядають також в якій змінними виступають похідні внутрішнього рівняння кривої . Крім того, будують за допомогою диференціалів різних вектор-функцій .

Формули для обчислення коефіцієнтів I(d)

Припустимо, що поверхня задана параметричним рівнянням:

Тоді частинні похідні мають координати . Тоді

(3)

Припустимо, що поверхня задана явною функцією: . Тоді

Тоді за формулами (3) маємо:

(4)

Припустимо, що поверхня задана неявним рівнянням: . Оскільки поверхня регулярна, то в будь-якій точці хоча б одна з частинних похідних функції не дорівнює нулю. Припустимо, що у точці, де розглядається , частинна похідна . Тоді згідно теореми про неявну функцію у деякому околі цієї точки поверхню можна задати явною функцією . Причому частинні похідні будуть мати вигляд: . Тоді з формули (4) отримаємо: