Формули Гауса-Петерсена-Кодаци. Теорема Боне.
Відмітимо, що коефіцієнти не є незалежними, що природно випливає з того, що ці коефіцієнти виражаються через частинні похідні однієї і тієї ж вектор-функції . Будемо вважати, що вектор-функція поверхні є регулярною класу щонайменше 3. Тоді між частинними похідними цієї функції та частинними похідними функції виконується співвідношення:
(1)
Підставимо у (1) вирази похідних другого порядку функції і похідні функції , через дериваційні формули і продиференціюємо вирази в дужках. Потім знов замінимо похідні другого порядку функції і похідні функції , за допомогою дериваційних формул та приведемо подібні при . Отримаємо рівняння вигляду:
(2)
Оскільки лінійно незалежні, то усі коефіцієнти цієї системи нульові:
(3)
Як показано у попередньому параграфі, коефіцієнти дериваційних формул залежать тільки від . Тому і коефіцієнти системи (2) залежать тільки від коефіцієнтів та їх похідних. Таким чином система (3) – це формули, що пов’язують .
Теорема Боне:
Нехай задані дві квадратичні форми:
,
причому форма
додатньої визначена,
– функції від
.
Тоді існує єдина з точністю до положення
в просторі поверхня для якої
– перша квадратична форма, а
– друга квадратична форма, за умови,
що коефіцієнти
пов’язані формулами Гауса-Петерсена-Кодаци.
Доведення: Дериваційні формули можна розглядати, як систему диференційних рівнянь для знаходження вектор-функції поверхні. Система рівнянь (1) є необхідною і достатньою умовою для інтегрування цієї системи рівнянь. У свою чергу формули Гауса-Петерсена-Кодаци є необхідною і достатньою умовою виконання рівностей системи (3).
Література
О.А.Борисенко «Диференціальна геометрія і топологія», Харків, Основа, 1995 р.
А.В. Погорелов «Диференциальная геометрия», Москва, Наука, 1974 г.
П. К. Рошевський «Диференциальная геометрия», Москва, 1956 г.
А.С.Мищенко, А.Д.Фоменко «Курс диференциальной геометрии и топологии», Москва, Наука, 1978 г.