Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет

90 – річчу ДНУ присвячується

А.В. Тушев

„ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОВЕРХОНЬ”

Дніпропетровськ

РВВ ДНУ

2011

Зміст

Зміст 2

Вступ 3

Регулярні поверхні. 4

Різні аналітичні засоби задання регулярних поверхонь. 6

Криві та поверхні. Напрямки на поверхні. 7

Дотична площина та нормаль поверхні. 8

Перша квадратична форма регулярної поверхні 10

Формули для обчислення коефіцієнтів I(d) 11

Довжина дуги кривої на поверхні 12

Кут між кривими на поверхні 12

Площа простого шматка регулярної поверхні 14

Друга квадратична форма регулярної поверхні. Формули для обчислення коефіцієнтів. 17

Кривина нормального перерізу поверхні. Нормальна кривина поверхні в заданому напрямку. 20

Індикатриса кривини. Класифікація точок регулярної поверхні. 22

Асимптотичні напрямки. Асимптотичні лінії на поверхні. 24

Головні напрямки на поверхні. Лінії кривини на поверхні. Теорема Родріга. 25

Головні кривини. Середня і повна кривина. 28

Формули Ейлера. 30

Дериваційні формули. 32

Формули Гауса-Петерсена-Кодаци. Теорема Боне. 34

Література 36

Вступ

Вивченням регулярних поверхонь, їх властивостей та характеристик займається диференціальна геометрія — математична дисципліна яка застосовує методи математичного аналізу для вивчення гладких кривих, поверхонь і, в найзагальнішому вигляді, їхніх n-вимірних аналогів, які називаються багатовидами. До ґрунтових понять диференціальної геометрії належать дотична пряма й площина, довжина, площа, а також кривина ліній і поверхонь. В диференційній геометрії на поверхні, котрі досліджують, зазвичай накладають умови, пов'язані з можливістю застосування методів диференційного числення. Зазвичай, це — умови гладкості поверхні, тобто існування в кожній точці поверхні визначеної дотичної площини, кривизни тощо. Ці вимоги зводяться до того, що функції, котрі задають поверхню, приймаються одно-, двічі-, тричі-, а то й необмежену кількість разів диференційовними чи навіть аналітичними. При цьому додатково накладається умова регулярності. Саме такі поверхні та їх властивості розглядаються в даній курсовій роботі.

Регулярні поверхні.

Підмножина площини, що обмежена простою замкненою кривою називається областю на площині. Відомо, що будь-яка область на площині є гомеоморфною деякому колу.

Підмножина простору Р, що є гомеоморфною деякій області площини, називається простою поверхнею або простим шматком поверхні. Відмітимо, що не всяка поверхня є простою. Наприклад, сфера є об’єднанням двох простих поверхонь – півсфер. Загальною поверхнею у диференційній геометрії називають підмножину простору, всяка точка якої має окіл, що є простою поверхнею.

Диференційна геометрія вивчає локальні властивості поверхонь, що визначаються їх побудовою у досить малому околі, тому у подальшому будемо вважати, що поверхні – це шматки поверхонь.

Нехай Γ – поверхня , точка P є Γ і нехай ∆ – простий шматок поверхні, що містить Р. З означення простого шматка поверхні: ∆ гомеоморфний будь-якій області G на площині. Припустимо, що на цій площині введені декартові координати (u,v). Оскільки гомеоморфність є бієктивним відображенням, то P відповідає довільна пара чисел (u,v) ( так як і будь-якій іншій точці простого шматка поверхні ∆). Пару чисел (u,v) називають криволінійними координатами точки Р.

Припустимо, що у просторі, де лежить поверхня Γ, введена декартова система координат з центром у точці О , тоді кожній точці шматка ∆ відповідає радіус-вектор , а кожній точці P відповідає пара чисел (u,v) – криволінійні координати Р. Таким чином кожному радіус-вектору взаємно однозначно відповідає пара чисел (u,v). Таким чином ми отримали вектор-функцію . Якщо відкладати ві початку координат О, їх кінці пройдуть через усі точки поверхні ∆ (числа (u,v) пробігають усю область Г на координатній площині). Вектор-функція називається вектор-функцією Г на простому шматку ∆, якщо взяти інший шматок поверхні Г, то вектор-функція може бути іншою.

Поверхня Г називається гладкою, якщо її вектор-функція неперервно диференційна по кожній змінній (u,v). Поверхня Г має клас гладкості , якщо вектор-функція має неперервні похідні до n-того порядку включно.

Припустимо, що Г – гладка поверхня, – її вектор-функція. Якщо P є Г не є паралельною до , то точка P називається регулярною (не особливою) точкою Г, у зворотному випадку точка P особлива.

Поверхня Г називається регулярною, якщо її вектор-функція регулярна у будь-якій точці Г. Поверхня Г має клас регулярності , якщо вона регулярна і має неперервні похідні до n-того порядку включно.

Якщо у просторі введена декартова система координат, то будь-яка точка поверхні має декартові координати, що залежать від раніше введених криволінійних координат цієї точки, тому отримаємо систему функцій:

– параметричне рівняння поверхні Г.

Функції, що входять в (1) є координатними функціями радіус-вектору відповідної точки поверхні, тобто , тому Г тоді і тільки тоді буде регулярною, коли не є паралельною до , звідси маємо:

(*)

Різні аналітичні засоби задання регулярних поверхонь.

Теорема (про аналітичне задання регулярних поверхонь).

Поверхня Г тоді і тільки тоді є регулярною, коли в деякому околі її будь-якої точки поверхню можна задати одним з наступних засобів (Р є Г – точка, окіл якої фігурує у теоремі):

1. системою рівнянь , причому

;

2. функцією ;

3. рівнянням , причому .

Доведення: Припустимо, Г – регулярна поверхня, P є Г, ∆ –простий шматок поверхні P є ∆, слід на цьому шматку поверхня задається параметричним рівнянням (1), а оскільки поверхня регулярна, то не є паралельною до , а значить матриця (*) має ранг 2. Припустимо, що задана система рівнянь (1), де –неперервно диференційні функції, причому ранг матриці (*) у точці Р, що задовольняє (1), дорівнює 2. Оскільки –неперервно диференційовні, то ранг матриці (*) дорівнює 2 у будь-якому околі точки Р. Слід задають функцію у цьому околі точки Р, кінці значень цієї вектор-функції, якщо її відкладати від початку координат, описують поверхню, причому не є паралельною до , оскільки ранг матриці (*) дорівнює 2. Отримали простий шматок поверхні. Припустимо, що у матриці (*), яка має ранг 2, визначник у лівому верхньому куті не дорівнює нулю. Тоді згідно теореми про неявну функцію, що задана системою рівнянь у деякому околі точки Р, змінні u і v можуть бути виражені через змінні х та у: . При підстановці цих рівнянь у систему (1) отримаємо тотожність. Таким чином залишається одне рівняння, що задає поверхню:

.

Припустимо, що поверхня задана явним рівнянням . Тоді, покладаючи:

отримаємо параметричне рівняння. При цьому матриця частинних похідних має вигляд: , її ранг дорівнює 2.

Якщо поверхня задана неявним рівнянням , то в кожній точці хоча б одна частинна похідна не дорівнює нулю. Припустимо, що , тоді за теоремою про неявну функцію у деякому околі точки P .