2.6.2. Метод половинного деления (метод бисекции, метод дихотомии).

Метод половинного деления заключается в следующем. Отрезок, на котором существует корень уравнения , делится пополам (рис. 2.6.2). Если знак функции в точке деления отличен от знака функции в начальной точке, то корень находится в первой половине отрезка и вторая половина отбрасывается. Если знаки совпадают, то корень находится во второй половине и первая половина отбрасывается.

Рис. 2.6.2. К вопросу о решении нелинейного уравнения методом половинного деления.

Затем аналогичные действия (шаг приближенного решения) повторяются с оставшимся уменьшенным вдвое отрезком. Это происходит до тех пор, пока длина отрезка, оставшегося после N-го шага решения, не станет меньше . Тогда любая точка этого отрезка (например, его середина) может быть принята в качестве приближенного решения уравнения с заданной точностью  .

Алгоритм метода половинного деления кратко описан ниже.

, – начальные значения; (2.6.7)

0–й шаг:

, , (2.6.8)

……………………………..

k–й шаг:

, , (2.6.9)

Окончание вычислений происходит при достижении заданной точности (условие окончания счета):

. (2.6.10)

Приближенное значение корня определяется в виде

. (2.6.11)

Оценка числа шагов n, необходимого для достижения заданной точности:

, откуда . (2.6.12)

Заметим, что в практических задачах критерием окончания счета часто является условие

, (2.6.13)

при этом величина

(2.6.14)

называется невязкой. Она свидетельствует, насколько точно удовлетворяется исходное уравнение.

2.6.3. Метод итерации

Из равенства

вычитаем сторонами уравнение (2.6.1)

.

Получаем

, (2.6.15)

где .

Метод итерации состоит в следующем. Задается начальное приближение . Затем последовательно вычисляются , , …, , … по формуле

, . (2.6.16)

Вычисления производятся до тех пор, пока не выполнится условие

, (2.6.17)

после чего приближенное решение принимается равным .

Достаточное условие сходимости метода.

Пусть – корень, – погрешность, тогда (по теореме Лагранжа):

Пусть

.

Тогда справедлива цепочка неравенств

,

откуда следует, что

т.к. и .

Следовательно, достаточным условием сходимости является

. (2.6.18)

Количество итераций , достаточное для получения приближенного решения уравнения с заданной точностью определяется из условия . Учитывая, что при и значения натурального логарифма от этих величин отрицательные ( и ), получим следующую оценку

. (2.6.19)

Очевидно, что чем сильнее неравенство , т.е. чем меньше , тем меньше количество итераций , достаточное для получения приближенного решения уравнения с заданной точностью .

Обобщение. Если достаточное условие сходимости итераций (2.6.18) не выполняется, то вместо исходной задачи (2.6.1) можно рассмотреть эквивалентную ей задачу

, (2.6.20)

где – некоторая, специально подобранная, знакопостоянная на отрезке , функция.

Тогда в итерационном процессе (2.6.16) функция имеет вид

. (2.6.21)

Для сходимости так построенного итерационного процесса функция должна быть подобрана из достаточного условия сходимости (2.6.18).

Рассмотрим два примера метода итерации: метод простой итерации и метод Ньютона.

Метод простой итерации. В итерационном процессе можно, в частности, принять

, (2.6.22)

где – специально подобранное число (итерационный параметр).

Тогда алгоритм пересчета по методу простой итерации примет вид

, . (2.6.23)

Например, возможен следующий выбор параметра .

Пусть на отрезке существует только один корень, т.е.

и не меняет знак на .

Далее, пусть величина такая, что

для всех .

Тогда в качестве параметра можно взять значение

.

В этом случае имеем:

; , (2.6.24)

Откуда

. (2.6.25)

Для обеспечения на практике хорошей сходимости величина не должна сильно превышать по модулю значения . В этом случае неравенство будет существенно бόльшим.

Метод Ньютона. Этот метод представляется частным случаем общего метода итераций, если принять

. (2.6.26)

Следовательно,

(2.6.27)

и алгоритм пересчета по методу Ньютона имеет вид

, . (2.6.28)

Метод Ньютона имеет наглядую геометрическую интерпретацию. Формула касательной к функции в точке имеет вид

(2.6.29)

Вместо корня уравнения (2.6.1)

определим корень уравнения

, (2.6.30)

или в развернутом виде

Из последнего выражения следует, что искомый корень, обозначим его , имеет вид

,

т.е. .

Следовательно, на -ом шаге итерации по методу Ньютона приближением корня функции является корень касательной к этой функции в точке , . Поэтому метод Ньютона известен также как метод касательных. Рис. 2.6.3 иллюстрирует геометрическую интерпретацию итераций по методу Ньютона при заданном начальном приближении корня .

Рис. 2.6.3. Геометрическая интерпретация метода Ньютона.

Рассмотрим выполнение достаточного условия сходимости итерационного процесса по методу Ньютона. В данном случае

,

откуда можно заключить, что достаточное условие сходимости имеет вид

или . (2.6.31)

Замечание. Заметим, что при достаточной близости начального приближения к корню уравнения метод Ньютона всегда сходится.