2.5.3. Формула трапеций.
Заменяем на i-ом участке интегрируемую
функцию линейной функцией
,
принимающей в точках
и
значения (рис. 2.5.3):
,
.
(2.5.9)
Рис. 2.5.3. К интегрированию по формуле трапеций.
Тогда интеграл на отрезке заменятся
площадью трапеции (
и
– основания,
– высота)
.
(2.5.10)
Вычисление исходного интеграла сводится к вычислению суммы
,
(2.5.11)
или
.
(2.5.12)
Точность вычисления. Как следует из построения квадратурная формула трапеций дает точный результат интегрирования для функций, линейных на i-ом участке ( ).
2.5.4. Формула Симпсона.
Разобьем интервал
интегрирования на четное
число отрезков. Рассмотрим сдвоенный
участок [
].
Построим параболу
,
принимающую в точках
значения (см. рис. 3.5.4)
,
,
.
Рис. 2.5.4. К интегрированию по формуле Симпсона.
Такая парабола может быть представлена формулой
,
(2.5.13)
где
,
при этом
(2.5.14)
или
.
(2.5.15)
Делая замену переменных, вычислим приближенное значение интеграла
Параметры
,
определим из условий
В итоге получим квадратурную формулу Симпсона
.
(2.5.16)
Общая формула для вычисления приближенного значения интеграла примет вид
.
(2.5.17)
Суммирование ведется только по нечетным i. Если перегруппировать члены суммы, получим
т.е.
(3.5.18)
Точность вычисления. Как следует
из построения квадратурные формулы
Симпсона дают точный результат
интегрирования для функций, имеющих
вид квадратичной параболы на
сдвоенном участке [
]
(
–
нечетное). При этом одинаковая длина
сдвоенных участков вовсе не обязательна
и использовалась здесь исключительно
для упрощения промежуточных выкладок
и вида результирующих формул
(2.5.17)–(2.5.18).
В том случае, когда сдвоенные участки имеют одинаковую длину, т.е.
– средняя точка сдвоенного участка,
формула Симпсона точна для функций,
имеющих вид кубической параболы на
этих участках. Это утверждение достаточно
проверить для
.
При точном интегрировании имеем:
,
а при интегрирование по формуле Симпсона получаем:
Как видно, результаты точного и численного интегрирования совпадают.
2.5.5. Вычисление интеграла с заданной точностью.
Обозначим через
вычисленное приближенное значение
интеграла
при разбиении отрезка
на
частей. При необходимости вычислить
результат с заданной точностью
вычисления повторяют с последовательно
уменьшающимся (вдвое) шагом до тех пор,
пока не выполнится условие окончание
счета
.
(2.5.19)
2.5.6. Пример численного интегрирования полинома.
Вычислить
,
где
.
Здесь
и
.
Пусть
,
тогда
.
Метод прямоугольников.
Имеем:
,
,
.
Расчет сведен в табличную форму.
|
|
|
1 |
0.375 |
0.713 |
2 |
1.125 |
–0.283 |
3 |
1.875 |
–3.951 |
4 |
2.625 |
–12.822 |
На основании данных, приведенных в таблице, вычисляем приближенное значение интеграла по формуле средних прямоугольников (2.5.6):
0.75·[0.713+(–0.283)+(–3.951)+(–12.822)]=-12.258
Метод трапеций.
Имеем:
,
,
.
Расчет сведен в табличную форму
|
|
|
0 |
0.0 |
1.0 |
1 |
0.75 |
0.391 |
2 |
1.5 |
–1.625 |
3 |
2.25 |
–7.578 |
4 |
3.0 |
–20.0 |
На основании данных, приведенных в таблице, вычисляем приближенное значение интеграла по формуле трапеций (2.5.12):
0.75·{[1.0+(–20.0)]/2+0.391+(–1.625)+(–7.578)}=–13.734
Метод Симпсона.
Аналогично методу трапеций:
, , .
Расчет сведен в табличную форму (таблицы метода трапеций и метода Симпсона совпадают).
|
|
|
0 |
0.0 |
1.0 |
1 |
0.75 |
0.391 |
2 |
1.5 |
–1.625 |
3 |
2.25 |
–7.578 |
4 |
3.0 |
–20.0 |
На основании данных, приведенных в таблице, вычисляем приближенное значение интеграла по формуле Симпсона (3.5.18):
0.75/3·[1.0+4·0.391+2
(–1.625)+4 (–7.578)+(–20.0)]=-12.749