Числовые характеристики выборки.
Среднее
(арифметическое)
определяется по формуле
,
(1)
где
варианты
X,
соответствующие
частоты,
количество
вариантов,
объём
выборки.
Дисперсию выборки
определим по формуле
Точечной оценкой для математического ожидания MX служит выборочное среднее , определяемое равенством (1) .
Оценкой для дисперсии DX является выборочная дисперсия (2).
Для оценки дисперсии DX при малых n используется так называемая исправленная дисперсия
(3)
Стандартным, или среднеквадратичным, отклонением (исправленным или неисправленным) выборки назовём величину, которая определяется как квадратный корень из выборочной дисперсии или исправленной выборочной дисперсии соответственно:
или
(4)
Если вариационный ряд составлен по значениям генеральной совокупности, то модой выборки является значение, имеющее максимальную частоту.
Медианой выборки является значение серединного элемента вариационного ряда. Если вариационный ряд составлен по значениям генеральной совокупности, то при нечётном объёме выборки n медиана – это действительное значение серединного элемента, а при чётном n – это полусумма двух серединных элементов.
Интервальные оценки.
Доверительным
называется
интервал, который с заданной доверительной
вероятностью
покрывает оцениваемый параметр. При
этом
называется уровнем
значимости,
-коэффициентом
доверия .
Для оценки
математического ожидания a
случайной величины X,
распределённой по нормальному закону,
при известной дисперсии
служит доверительный интервал
,
(5)
где
-
выборочное среднее, n
– объём выборки,
- точность оценки,
- такое значение
аргумента функции Лапласа
,
при котором
.
Если дисперсия неизвестна, то для оценки математического ожидания a служит доверительный интервал
,
(6)
где
- оценка среднего квадратичного
отклонения,
удовлетворяет
равенству
-
плотность распределения Стьюдента с
(п-1)-ой
степенью свободы;
здесь точность
оценки равна
.
Часть 2.
Во время статистических наблюдений для каждого объекта в ряде случаев можно измерить значения нескольких признаков. Таким образом, получается многомерная выборка. Если многомерную выборку обработать по значениям отдельного признака, то получится обычная обработка одномерной выборки.
Смысл обработки многомерных выборок состоит в том, чтобы установить связи между признаками. Связи могут быть функциональными, т.е. каждому значению одной величины соответствует определённое значение другой величины.
Связь между случайными величинами часто носит случайный характер. Такая связь называется стохастической или статистической, если изменение одной величины вызывает изменение распределения другой величины. Если среднее значение одной случайной величины функционально зависит от значения другой случайной величины, то такая статистическая зависимость называется корреляционной.
Рассмотрим двумерную выборку вида ( X, Y).
Величины X и Y могут быть функционально зависимы, но на процесс измерения их значений влияют разные, в основном случайные, факторы. Установить по результатам измерений вид фактической зависимости не так просто.
Конкретный вид функциональной зависимости между величинами X и Y, установленный по двумерной выборке, называют эмпирической формулой. Если построить график эмпирической формулы на корреляционном поле, то он не должен пройти через все точки (х,у) выборки , а быть наилучшим приближением к этим точкам. Среднее расстояние этих точек от графика должно быть минимальным. При этом предпочтение отдаётся эмпирической формуле, имеющей более простой вид.
Простейшим видом
эмпирической формулы является линейная
функция
Задача
установления эмпирической формулы
заключается в вычислении по выборке
коэффициентов a
и b
в формуле
линейной функциональной зависимости.