6. Періодичні сигнали: а) – гармонійний, б) – імпульсний, в) – складної форми

Найчастіше як базисні функції використовуються гармоніки. У цьому випадку ми одержуємо розкладання в ряд Фур’є:

,   (1)

де  = 2/Т = 2f – основна частота,  яка визначається періодом сигналу  Т, f = 1/Т − частота коливань, – початкова фаза k – ої гармоніки.

Як видно, тут будь-яка періодична функція визначається як сума постійної складової і гармонік з частотами , кратними основній частоті .

При цьому амплітуди і фази складових підбираються, виходячи з форми сигналу:

Перетворення Фур’є дозволяють перевести повідомлення довільної форми в сукупність елементарних гармонійних коливань. При цьому аналіз перетворень сигналу зводиться до аналізу змін параметрів гармонійних коливань (як елементарних “цеглинок” складного об’єкта).

Для неперіодичних функцій Фур’є встановив відповідність між часовими й спектральними характеристиками:

,   (2)

де s(t)  функція часу, S(іω) − спектральна щільність, яка є комплексною змінною, тобто складається із реальної і уявної (мнимої) частин.

 Пари перетворень (2) коротко позначають у вигляді: S(іω) ↔ s(t).

 Можна показати, що

,

 дійсна частина спектральної щільності;

− мнима частина спектральної щільності.

 амплітудно – частотна характеристика спектральної щільності  (АЧХ) − характеризує розподіл амплітуд гармонік по частотному спектру.

   фазова характеристика спектральної щільності (ФЧХ) − характеризує розподіл по спектру фаз гармонік.

Графічне представлення коефіцієнтів ряду Фур’є прийнято називати спектральною діаграмою; з двох видів спектральних діаграм – амплітудної і фазової – частіше використовується перша.

Простий частковий випадок амплітудної спектральної діаграми гармонійного сигналу показаний на рис. 7: на ній всього одна лінія.

7. Амплітудна спектральна діаграма гармонійного сигналу

Сукупність усіх спектральних складових, що у суми утворюють сигнал згідно із виразом (1), називають спектром.

Якщо сигнал є періодичним, тобто величина періоду Т у виразі (1) є кінцевою, то спектр періодичного сигналу – решітчастий (див. рис. 8). При цьому, як уже наголошено, “крок решітки” обернено пропорційний періоду Т. Проведемо тепер уявний експеримент: уявимо, що аперіодичний сигнал повністю повториться через період Т → ∞. При такому припущенні “решітка” зливається в безперервну функцію, що характеризує розподіл спектральної щільності F(ω) (рис. 8).

8. Решітчастий спектр періодичного і безперервний спектр аперіодичного сигналу

Важливим випадком є спектр ідеального імпульсу тривалістю τ (рис.9). Такий імпульс описується формулою (2)

(2)

9. Ідеальний одиночний імпульс (а) і його спектр (б)

Відомо, що для таких сигналів розподіл спектральної щільності F(ω) описується функцією

,

графік якої показаний на рис. 9б). Це і є спектром одиночного ідеального імпульсу, що широко використовується при аналізі всіх імпульсних сигналів.

Звернемо увагу на два важливих моменти:

по-перше, очевидно, що зі зменшенням тривалості імпульсів (із підвищенням швидкості передачі) діапазон частот спектру розширюється;

по-друге, більша частина енергії спектру зосереджена в діапазоні частот (саме цей діапазон частот лінії зв’язку відповідає за передачу амплітуди сигналу).