2.2. Метод медианы выбор­ки

Метод выявления наличия или отсутствия тренда в ряду, базирующийся на критерии проверки серий, основанный на медиане выбор­ки проверяет гипотезу о случайности динамического ряда на основании следующего алгоритма.

1. Определяются выборка статистических наблюдений за изменениями наблюдаемого показателя во времени – динамический ряд вида (y₁,y₂,…,у_n).

2. Строится диаграмма динамического ряда по полученной выборке.

3. Из исходного ряда (y₁,y₂,,…,у_n) длиной n формируется промежуточный ранжированный ряд таким образом, чтобы выполнялось условие y₁ y_{2 ….} у_n , где y₁ наименьшее значение ряда.

4. Определяется медиана этого промежуточного вариационного ряда - Me. В случае нечетного значения количества наблюдений n, n = (2m + 1), значение медианы выбирается на основании следующего выражения

Ме = у_m+1 ,

в противном случае, если имеем четное число наблюдений, n, то по формуле

Ме = (у_m + у_m+1)/2 .

5. Формируется промежуточная таблица и строится промежуточный ряд {d} из элементов, значения которых равны, либо d = "+", либо d = "-" .

Правило построения значения вспомогательного ряда d определяется следующим выражением (2.5)

(2.5)

Правило интерпретируется следующим образом. Если текущее значение уровня ряда d больше значения медианы, то выставляется знак «+», иначе – знак «-». Если значение y_t равно медиане, то это значение опускается. На основании полученных значений производного ряда, строится промежуточная таблица следующего вида

№ пп	1	2	3	….	n
Исследуемый показатель, у	y1	y2	y3	….	yn
Промежуточный ряд	d1	d2	d3	….	dn

6. Подсчитывается протяженность самой длинной серии τ_max(n) и общее число серий υ(n) аналогично тому, как это делалось в методе восходящих и нисходящих серий.

7. Проводится оценка гипотезы о случайности ряда. Для того, чтобы не была отвергнута гипотеза о случайности исходного ряда (об отсутствии систематической составляющей) должны вы­полняться следующие неравенства (для 5% уровня значимости):

(2.6)

Если хотя бы одно из неравенств системы (2.6) нарушается, то гипотеза об отсут­ствии тренда отвергается.

2.3. Метод фостера-стюарта

Метод Фостера-Стюарта предполагает иной способ проверки гипотезы о наличии тенденции в исследуемом процессе. На базе данного метода рассчитывается значение коэффициента Стьюдента, на базе которого и решается вопрос о наличии или отсутствии тенденции в ряду. Алгоритм метода реали­зуется в виде следующей последовательности шагов.

1. Определяются выборка статистических наблюдений за изменениями наблюдаемого показателя во времени – динамический ряд вида (y₁,y₂,…,у_n).

2. Строится диаграмма динамического ряда по полученной выборке.

3. На основании исходных данных строятся два промежуточных ряда, ряд m и ряд l .

3.1. Правило построения значения промежуточного ряда m определяется выражением (1.8)

(2.7)

При этом, каждое последующее значение уровня исходного ряда y_t сравнивается со всеми предшествующими уровнями (y_t-1, y_t-2,…,у_k) Таким образом, значение m_t = l, тогда и только тогда, когда последующее значение ряда y_t больше всех предшествующих уров­ней, и m_t = 0, если иначе.

3.2. Каждое последующее значение ряда l также сравнивается со всеми предшествующими уровнями исходного ряда и формируется значение l_t = l, тогда и только тогда, когда последующее значение ряда y_t меньше всех предшествующих уров­ней, и l_t = 0, - иначе.

4. Вычисляется вспомогательная характеристика d_t = m_t - l_t для всех t = 2…n. Очевидно, что величина d_t может принимать значения (0; 1; - 1). На основании полученных значений вспомогательных рядов строится промежуточная таблица следующего вида.

№ пп	1	2	3	….	n
Исследуемый показатель	y1	y2	y3	….	yn
Промежуточный ряд m		m1	m2	….	mn-1
Промежуточный ряд l		l1	l2	….	ln-1
Итоговый ряд d		d1	d2	….	dn-1

5. На основании итогового ряда d в таблице, находится суммарный показатель

6. С помощью критерия Стъюдента проверяется гипотеза о том, что можно считать случайной разность D - 0 (т.е. ряд можно считать случай­ным, не содержащим тренд).

Для этого

6.1. Определяется расчетное значение критерия Стъюдента

г де σ_D - средняя квадратическая ошибка величины D, которая вычисляется либо по формуле:

либо по специальной нормировочной таблице значений σ_D..

6.2. Расчетное значение t_набл сравнивается с критическим значением t_кр взятым из таблицы t-распределения Стьюдента для заданного уровня значимости α и числа степеней свободы k = n - 1.

Решающее правило формулируется следующим образом. Если удовлетворяется условие t_набл > t_{кр ,} то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Рассмотрим пример оценки наличия или отсутствия тенденции по данному критерию.

Пример 2.2. Используем данные примера 1 о наблюдениях за стоимостью акций по месяцам (табл.2.2). Определить методом Фостера-Стюарта наличие или отсутствие тенденции в ряду наблюдений. Данные приведены в табл.2.4.

Таблица 2.4. Данные ряда наблюдений за уровнем курса акций

t	Y	t	y
1	37	13	8
2	33	14	41
3	15	15	43
4	36	16	31
5	26	17	42
6	24	18	47
7	16	19	51
8	33	20	21
9	44	21	26
10	34	22	32
11	63	23	37
12	52	24	42

Решение.

1. Проводится наблюдение исследуемого признака. Определяем совокупность показателей, ранжированных в хронологической последовательности.

2. На основании исходных наблюдений делаем графический анализ ряда (рис.2.2).

Рисунок 2.2. График анализа динамического ряда курса акций

3. На основании исходных данных строится промежуточный ряд m, значениями которого является либо 1, либо 0. 1 выставляется в том случае, если значение последующего признака больше всех предыдущих. 0, иначе.

4. Строится произвольный ряд l, значения которого также принимают «0» или «1», причем значение «1» выставляется в том случае, если каждое последующее значение не больше (меньше) всех предыдущих.

5. На основании двух рядов m и l вычисляется разница значений d_i= m_i - l_i. . Результаты промежуточных расчетов приведены в табл.2.5.

_{Таблица 2.5. Расчет промежуточных рядов m, li. di}

T	y	m	l	d
Исходные		Расчетные данные
1	37
2	33	0	1	-1
3	15	0	1	-1
4	36	0	0	0
5	26	0	0	0
6	24	0	0	0
7	16	0	0	0
8	33	0	0	0
9	44	1	0	1
10	34	0	0	0
11	63	1	0	1
12	52	0	0	0
13	8	0	1	-1
14	41	0	0	0
15	43	0	0	0
16	31	0	0	0
17	42	0	0	0
18	47	0	0	0
19	51	0	0	0
20	21	0	0	0
21	26	0	0	0
22	32	0	0	0
23	37	0	0	0
24	42	0	0	0
D = Σ di =				-1

6. Определяется общая сумма разности, D = Σ d_i = - 1.

7. Проводится расчет критерия Стьюдента по следующей формуле

t_ст= D/σ_d, где σ_d- средняя квадратическая величина D, рассчитываемая по формуле σ_d = , либо выбирается по специальной таблице стандартных ошибок.

Расчет показывает следующие значения, σ_d = 2,34; t_ст= -1 : 2,34 = -0,42601.

8. Расчетное значение t_ст= -0,42601.сравнивается с табличным значением, которые берутся из таблицы Стьюдента, для числа степеней свободы к = n – 1 = 23 и α = 0,95 (уровень значимости). Табличное значение критерия Стьюдента вычисляем через функцию t_т = СТЬЮДРАСПОБР(0,05;24) = 2,069.

Получаем t_ст=-0,42 > t_т=2,069. Решающее правило - Если t_ст > t_т, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается, т.е. тренд существует. Так как условие не выполняется, то вывод следующий – в исследуемом временном ряду тренда нет.

Рассмотрим еще примеры решения задач на оценку наличия/отсутствия тенденции в динамическом ряду.

Пример 2.3. На основании наблюдения за торговым предприятием, были проанализированы данные объема продаж (в млн.руб.) за период в 21 месяц. По полученным данным необходимо провести анализ наличия или отсутствия в динамическом ряду тенденции. Использовать для оценки следующие методы :

- метод восходящих и нисходящих серий;

- метод Фостера-Стюарта

Решение задачи. Решение выполняем в виде следующих этапов.

1. Проводим наблюдение исследуемого признака – объема продаж (у) за указанный временной период (t = 21), для чего определяется совокупность показателей, проводится ранжировка данных в хронологической последовательности, формируется исходная таблица для анализа и оценки наличия тенденции (табл.2.6).

Таблица 2.6. Исходные данные

t	Y	t	Y
1	6	13	6
2	4,9	14	5,7
3	7	15	5,1
4	6,7	16	5,2
5	5,8	17	7,3
6	6,1	18	6,1
7	5	19	6,2
8	6,9	20	5,9
9	6,8	21	6
10	5,9	22	4,8
11	5	23	7,3
12	5,6	24	7,2
13		25	7

2. На основании исходных наблюдений построим график динамики ряда, т.е проведем графический анализ исследуемого процесса (рис.2.3).

Рисунок 2.3. График ряда наблюдений за объемом продаж торгового предприятия

Этап 3. Строим промежуточный ряд δ из вычисленных по исходным данным значениям, причем δ = «+», если последующее значение больше предыдущего, δ = «-» - если иначе. Таблица с промежуточным рядом δ приведена в табл.2.7.

Таблица 2.7. Исходные данные и ряд δ

t	у	δ	t	у	δ
1	6		13	6	+
2	4,9	-	14	5,7	-
3	7	+	15	5,1	-
4	6,7	-	16	5,2	+
5	5,8	-	17	7,3	+
6	6,1	+	18	6,1	-
7	5	-	19	6,2	+
8	6,9	+	20	5,9	-
9	6,8	-	21	6	+
10	5,9	-	22	4,8	-
11	5	-	23	7,3	+
12	5,6	+	24	7,2	-
			25	7	-

4. Формируется таблица для расчета критериев оценки (табл.2.8). В последнем ряду определяется количество серий, где под серией понимается последовательность подряд идущих одинаковых знаков, а ט - определяет количество серий (каждая серия выделена отдельным цветом).

Таблица 2.8. Определение количества серий

t	у	δ	ט
1	6
2	4,9	-	1
3	7	+	2
4	6,7	-	3
5	5,8	-
6	6,1	+	4
7	5	-	5
8	6,9	+	6
9	6,8	-	7
10	5,9	-
11	5	-
12	5,6	+	8
13	6	+
14	5,7	-	9
15	5,1	-
16	5,2	+	10
17	7,3	+
18	6,1	-	11
19	6,2	+	12
20	5,9	-	13
21	6	+	14
22	4,8	-	15
23	7,3	+	16
24	7,2	-	17
25	7	-

Получили 17 серий, ט = 17.

Этап 5. Для каждой серии подсчитывается значение длины серии, которое определяется как количество знаков в серии. Для этого, добавим к предыдущей таблице еще одну графу с длиной серии (τ) и получим табл.2.9.

Таблица 2.9. Расчет длины серии, τ

t	у	δ	ט	τ
1	6
2	4,9	-	1	1
3	7	+	2	1
4	6,7	-	3	2
5	5,8	-
6	6,1	+	4	1
7	5	-	5	1
8	6,9	+	6	1
9	6,8	-	7	3
10	5,9	-
11	5	-
12	5,6	+	8	2
13	6	+
14	5,7	-	9	2
15	5,1	-
16	5,2	+	10	2
17	7,3	+
18	6,1	-	11	1
19	6,2	+	12	1
20	5,9	-	13	1
21	6	+	14	1
22	4,8	-	15	1
23	7,3	+	16	1
24	7,2	-	17	2
25	7	-

На основании данных графы τ, находим максимальное значение длины серии

τ_макс = mах { τ } = мах {1,1,2,1,1,1,3,2,2,2,1,1,1,1,1,1,2} = 3.

Этап 6. Расчет критериев оценки наличия тенденции и сравнение расчетного значения с теоретическим. В качестве критериев сравнения используем оценку количества серий ט и максимальной длины серии τ_макс,.

Для расчета теоретического значения критерия количества серии используется формула:

ט_т = (1/3)*(2n-1) - 1.96*корень ((16n-29)/90) = 12,31329;

ט р = 17.

Проверяем неравенство

טр = 17 > ט_т = 12 – условие выполняется.

Второе условие касается проверки максимальной длины серии (τ_макс = 3), которое сравнивается с критическим значением, вычисляемым по табл.2.10.

Таблица 2.10. Выборка критических значений τ_o(n)

Длина ряда, n	n < 26	26 < n < 153	153 < n < 170
Значение τo(n)	5	6	7

Сравнивая значения τ_o и τ_макс получаем

τ_макс = 3 ≤ τ_o = 5 – условие выполняется.

Таким образом, если оба условия выполняются в исследуемом ряде отсутствует тенденция регулярного характера, т.е. тренда нет.

Рассмотрим решение данного примера для оценки наличия или отсутствия тренда по методу Фостера-Стюарта.

Алгоритм решения предполагает следующие этапы реализации задачи.

Этап 1. Таблица исходных данных приведена в табл. 2.6.

Этап 2. Делаем графический анализ временного ряда (рис.2.3).

Этап 3. На основании исходных данных строится промежуточный ряд m, значения которого являются либо 0 либо 1. Значение «1» выставляется, если значение последующего признака больше всех предыдущих, «0» - если это условие не выполняется. Далее строится производный ряд l, значение которого тоже равно 0 или 1. При этом, значение «1» ставится тогда, когда каждый последующий уровень показателя меньше всех предыдущих, а «0» - если наоборот. На основании двух производных рядов m и l вычисляется их разница значений, по формуле m_i - l_i = d_i

Расчет промежуточных рядов m, l и d приведем в табл.2.11.

Таблица 2.11. Расчет промежуточных рядов

t	y	m	l	d
1	6
2	4,9	0	1	-1
3	7	1	0	1
4	6,7	0	0	0
5	5,8	0	0	0
6	6,1	0	0	0
7	5	0	0	0
8	6,9	0	0	0
9	6,8	0	0	0
10	5,9	0	0	0
11	5	0	0	0
12	5,6	0	0	0
13	6	0	0	0
14	5,7	0	0	0
15	5,1	0	0	0
16	5,2	0	0	0
17	7,3	1	0	1
18	6,1	0	0	0
19	6,2	0	0	0
20	5,9	0	0	0
21	6	0	0	0
22	4,8	0	1	-1
23	7,3	0	0	0
24	7,2	0	0	0
25	7	0	0	0
		D =		0

Этап 6. Определяется общая сумма разниц, т.е определяется D = ∑d = 0 и производится расчет критерия Стюдента по формуле

T_кр = D /σ_д, ,

где значение среднеквадратического отклонения σ_д, выбирается из следующей таблицы стандартных отклонений

n	σд
5	1.86
10	1.96
15	2.15
20	2.28
25	2.37
30	2.45

Значение критерия Стьюдента (для n = 25) T_кр = 0 / 2.37 = 0.

Этап 8. Расчетное значение критерия Стьюдента сравнивается с табличным, которое выбирается из таблицы Стьюдента на основании числа степеней свободы: k = n – 1 для α = 0.95 (уровень значимости), Т_табл = 2,06.

Этап 9. Проверяем условие существования или отсутствия трена. Если расчетное значение критерия Стьюдента больше, чем табличное, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается (значит тренд существует).

Проверяем условие, и так как условие существования нулевой гипотезы определяется следующим неравенством

T_кр = 0 > Т_табл = 2,06 ,

а оно не выполняется, то делаем вывод, что тренд в данном ряду наблюдений отсутствует.