7. Исследование временного ряда аналитическими методами (примеры решения задач по выделению тренда и сезонной компоненты)

7.1. Способы выделения тренда временного ряда

Рассмотрим примеры решения задач на использование аналитических методов выделения тренда из рядов динамики.

Пример 7.1. Дан ряд наблюдений за среднегодовым объемом производства продукции (в млн.руб). Определить уравнение тренда, которое наиболее лучше выражает регулярную составляющую ряда, т.е отображает тренд динамического ряда. Исходные данные приведены в табл.7.1. Требуется оценить существенность уравнения регрессии с помощью критериев достоверности (среднеквадратического отклонения, критерия Фишера)

Таблица 7.1. Динамика объема продаж по периодам

№	Годы	Среднегодовой объем производства, млн.руб,
1	1991	2400
2	1992	2450
3	1993	2500
4	1994	2550
5	1995	2500
6	1996	2600
7	1997	2550
8	1998	2700
9	1999	2750
10	2000	2800

Решение.

Для нахождения уравнений регрессии воспользуемся методом наименьших квадратов, для тех видов уравнений, которые подходят для нашего ряда данных.

Строим диаграмму временного ряда (рис.7.1).

Рисунок 7.1. Диаграмма объема производства по периодам наблюдения,

Анализ показывает, что возможно выравнивание ряда и выделение тренда по таким аналитическим функциям: - линейная, параболическая, гиперболическая, которые визуально отображают существующие тенденции развития динамики показателя.

Рассмотрим подбор параметров уравнений данного вида и начнем с линейного уравнения функции времени. Для определения параметров уравнения необходимо составить промежуточную таблицу вида (табл.7.2). При расчете период в годах заменим соответственно, натуральным рядом чисел.

Таблица 7.2. Таблица расчета параметров уравнения линейной зависимости

Фактические данные		Расчетные величины
t	у	t*у	t2	yр	у - ур	(у - ур)2	[(у - ур)2]:у	][(у - ур)2]:у [
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2400
2	2450
...	...
...	...
10	2800
S

Причем, в табл.7.2., столбцы 1-4 представляют собой расчет данных для определения параметров уравнения регрессии, столбец 5 – содержит расчетные значения (теоретические) вычисленные по уравнению регрессии, а столбцы 6-9 предназначены для вычисления показателя среднеквадратической ошибки, чтобы оценить достоверность и значимость найденного аналитического уравнения регрессии. Проведем вычисление промежуточных данных для решения (нахождения параметров) уравнения регрессии.

Вычисления проведем в формате табл.7.3.

Таблица 7.3. Расчет промежуточных данных для уравнения

	Т	y	T*y	t2
	1	2400	2400	1
	2	2450	4900	4
	3	2500	7500	9
	4	2550	10200	16
	5	2500	12500	25
	6	2600	15600	36
	7	2550	17850	49
	8	2700	21600	64
	9	2750	24750	81
	10	2800	28000	100
Сумма	55	25800	145300	385
Среднее	5,5	2580	14530	38,5

Используя полученные значения по табл. 7.2, составим систему нормальных уравнений для оценки параметров линейной зависимости.

Для прямолинейной функции расчет параметров производится по следующей системе нормальных уравнений:

(7.1.)

Решить систему уравнений (7.1) можно методом Крамера или Жордана - Гаусса. Для проверки правильности решения системы воспользуемся этими методами.