1.5. Виды моделей динамического ряда и их характеристики

Рассмотрим характеристику и вид модели с аддитивными и мультипликативными компонентами временного ряда.

Моделью с аддитивной компонентой называется такая модель, в которой вариация значений переменной во времени наилучшим образом описывается через сложение отдельных компонент. Это обобщенная модель вида

у_t = u_t + s_t + v_t + ε_t

Предположив, что циклическая вариация не учитывается, модель фактических значений переменной у_t можно представить следующим образом:

Фактическое значение = Трендовое значение + Сезонная вариация + Ошибка,

т.е. формула модели может быть выражена в этом случае как

у_t = u_t + s_t + ε_t . (1.8)

В литературе, этот вид модели динамического ряда принято обозначать как модель типа

A = T + S + E.

Пример такого вида модели динамического ряда можно проиллюстрировать следующими данными. Пусть даны исходные данные, определяющие количество продукции, проданной компанией в течение 13 периодов (табл.1.9).

Таблица 1.9. Объем продукции, проданной за 13 периодов

Период	Объем проданной продукции, тыс. шт.
1	239
2	201
3	182
4	297
5	324
6	278
7	257
8	384
9	401
10	360
11	335
12	462
13	481

Необходимо проанализировать исходные данные и установить, можно ли обнаружить тенденцию. Если устойчивая тенденция действительно существует, то построенная модель может быть использована для прогнозирования коли­чества проданной продукции в следующие периоды.

Построим график динамического ряда (рис.1.7).

Рисунок 1.7. Диаграмма объема проданной продукции

Анализ показывает, что количество проданной продукции за каждый прошедший период варьируется в виде сезонных изменений. Как следует из диаграммы, возможен возрастающий тренд, содержащий сезон­ные колебания. Объемы продаж за периоды 1 и 4, значительно выше, чем за 2 и 3.

При этом, наблюдается приблизительно равная сезонная вариация объема продаж за четыре периода, что указывает на квартальную вариацию продаж и существование аддитивной модели. Тренд показывает, что в целом объем продаж возрос примерно с 230 тыс. шт. в за 1 период до примерно 400 тыс. шт. за 13-ый период, однако увеличения уровня сезонных колебаний не произошло. Этот факт как раз и свидетельствует в пользу принятия модели ряда с аддитивной компонентой (выражение 1.8).

Моделью с мультипликтивной компонентой называется такая модель, в которой вариация значений переменной во времени наилучшим образом описывается через произведение компонент ряда. Это обобщенная модель вида

у_t = u_t × s_t × v_t × ε_t

Также предположив, что циклическая вариация не учитывается, модель фактических значений переменной у_t может быть представлена в виде следующего выражения:

Фактическое значение = Трендовое значение Сезонная вариация Ошибка,

т.е. формула модели имеет вид

у_t = u_t s_t ε_t . (1.9)

В литературе, этот вид модели имеет следующее выражение

А = Т S E.

В некоторых временных рядах значение сезонной компоненты не является кон­стантой, а представляет собой определенную долю трендового значения. Таким образом, значения сезонной компоненты увеличиваются с возрастанием значений тренда.

Пример такого вида модели динамического ряда представляют исходные данные, приведенные в табл.1.10, которые задают значения показателя - объем продукции, проданной компанией в течение 13 периодов (месяцев).

Таблица 1.10. Объем продаж за 13 периодов

Период	Объем проданной продукции, тыс. шт.
1	70
2	66
3	65
4	71
5	79
6	66
7	67
8	82
9	84
10	69
11	72
12	87
13	94

Построим по этим данным точечную диаграмму: (рис.1.8)

Рисунок 1.8. Диаграмма динамики продаж

Объем продаж этого продукта так же, как и в предыдущем примере, подвер­жен сезонным колебаниям, и значения его в период наступления сезона выше, чем обычно. Однако размах вариации фактических значений в сезон относительно линии тренда посто­янно возрастает. Наблюдается усиление сезонной вариации с возрастанием тренда, что указывает на существование мультипликативного модели динамического ряда.

К таким исходным данным следует применять модель с мультипликативной компонентой:

Фактическое значение = Трендовое значение Сезонная вариация Ошибка,

т. е. формула модели динамического ряда имеет вид

А = Т S Е.

В некоторых временных рядах значение сезонной компоненты не является постоянной, а зависит от величины значения тренда, т.е представляет собой определенную долю трендового значения. Таким образом, значения сезонной компоненты увеличиваются с возрастанием значений тренда.

В данном примере, можно говорить о существовании линейного тренда (во всяком случае, визуально), но чтобы полностью в этом убедиться, необходимо подтвердить гипотезу о существовании тренда и выявить наличие тренда.

В моделях как с аддитивной, так и с мультипликативной компонентой общая процедура анализа примерно одинакова:

Шаг 1. Расчет значений сезонной компоненты.

Шаг 2. Вычитание сезонной компоненты из фактических значений. Этот процесс называется десезонализацией данных. Расчет тренда на основе получен­ных десезонализированных данных.

Шаг 3. Расчет ошибок как разности между фактическими и трендовыми значениями.

Шаг 4. Расчет среднего отклонения (MAD), средней относительной ошибки аппроксимации, или среднеквадратической ошиб­ки (MSE) для обоснования соответствия модели исходным данным или для выбора из множества моделей наилучшей:

среднее абсолютное отклонение имеет выражение

,

среднеквадратическая ошибка определяется по формуле:

.

Таким образом, для исследования динамического ряда необходимо выявить существует ли тренд в ряду, имеются ли иные (периодические) компоненты и какова функция связи выявленных компонент (аддитивная или мультипликативная) временного ряда.