1.2. Основные показатели динамики экономических явлений

Для количественной оценки динамических моделей применяются обобщенные стати­стические показатели в виде: - абсолютных приростов, - темпов роста, - темпов прирос­та. В основе расчета этих показателей динамики лежит сравнение уровней временного ряда.

В соответствии с правилами расчета этих показателей, они также могут разделяться на цепные, базисные и средние. Если сравнение осуществляется с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения, то эти показатели называются базисными. Если сравнение осуществляется при переменной базе, и каж­дый последующий уровень сравнивается с предыдущим, то вычисленные таким образом показатели называются цепными. А средние показатели рассчитываются исходя из правил вычисления среднего значения при сравнении уровней наблюдаемого ряда. Для получения обобщающих показателей динамики развития также опре­деляются средние величины: средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

Обобщенные правила расчета показателей динамики такие.

Абсолютный прирост, обозначается как Δу и равен разности двух сравниваемых уровней.

Темп роста – Т, характеризует отношение двух сравниваемых уровней ряда, выраженное в процентах.

Темп прироста - К характеризует абсолютный прирост и выражается в относитель­ных величинах. Определенный в % темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения.

Для получения обобщающих показателей динамики, развития опре­деляются средние величины: средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

Определяя правила расчета, используем следующие обозначения: (у₁, у₂,….,у_t,…,y_n) -уровни временного ряда за период наблюдения t = l, 2, ...,n; n - длина временного ряда; у_б – (базовое значение) уровень временного ряда, принятый за базу сравнения.

В табл. 1.1. приведены выражения для вычисления базисных средних и цепных показателей динамики, отражающие абсолютный прирост, темп роста, темп прироста.

Таблица 1.1. Основные показатели динамики

	Абсолютный прирост	Темп роста	Темп прироста
Цепной	Δ уt = уt – yt-1		Kt = Tt – 100%
Базисный	Δ убt = уt – yб		Kбt = Tбt – 100%
Средний

Описание динамики ряда с помощью среднего прироста соответст­вует его представлению в виде прямой, проведенной через две крайние точки. В этом случае, чтобы получить прогноз на один шаг вперед, доста­точно к последнему наблюдению добавить значение среднего абсолютного прироста.

(1.1)

где у_n – фактическое значение в последней n-ой точке ряда,

- прогнозная оценка значения уровня в точке n+1

- значение среднего прироста для ряда (у₁, у₂,….,у_t,…,y_n).

Такой подход будет адекватен, если характер развития ряда будет близок к линейному виду. Равномерность развития исследуемого процесса может быть подтверждена примерно одинаковыми значениями цепных абсолютных приростов.

Применение средних темпов роста и прироста для описания динамики ряда соответствует показательной или экспоненциальной кривой роста, проведенные через две крайние точки. В этой связи применение этих показателей в качестве обобщающего, целесообразно для тех процессов и явлений, для которых изменение динамики происходит примерно с одинаковым темпом роста.

В этом случае прогнозное значение на i шагов вперед получают по следующей формуле

(1.2)

где у_n – фактическое значение в последней n-ой точке ряда,

- прогнозная оценка значения уровня в точке n+i

- значение среднего темпа роста, рассчитанное для ряда (у₁, у₂,….,у_t,…,y_n).

К недостаткам этих обобщающих показателей можно отнести то, что они учитывают лишь конечный и начальный уровни ряда, исключая влияние промежуточных значений. Тем не менее, они широко используются в силу простоты вычисления и получения приблизительных прогнозов.

Рассмотрим пример вычисления показателей динамики.

Пример 1.1. В табл.1.2. представлены данные об объеме производства продукции (млн. руб.), у в течение 6 месяцев текущего года (t = 6).

Таблица 1.2. Исходные данные для примера

t	1	2	3	4	5	6
уt	11,18	12,23	13,28	14,31	15,36	16,40

Построим таблицу расчета основных показателей динамики (табл.1.3) по приведенным данным за 6 месяцев (период с 1 по 6 месяц)

Таблица 1.3. Основные показатели динамики за 6 месяцев

	Абсолютный прирост	Темп роста	Темп прироста
Цепной	Δ уt =16,40 – 15,36 = 1,04	16,40/15,36 = 1,07 = 107%	Kt = 107% – 100% = 7%
Базисный	Δ убt =16,40 – 11,18 = 5,22	16,40 / 11,18 = 1,47 = 147%	Kбt = 147% – 100% = 47%
Средний	(16,40 – 11,18)/(6-1) = 1,044	[степень (16,40 / 11,18)]1/5 = 1.08 = 108%	108% - 100% = 8%

Для приведенных данных средний абсолютный прирост равен 1,044 (млрд. руб.) Прогноз объема производства на 7 месяц, полученный с помо­щью среднего прироста, равен

= 16,40 + 1,044 = 17,444 (млрд. руб.)

Рассмотрим следующий пример.

Пример 1.2. Даны наблюдения за объемом производства предприятия за два года, в разрезе месячных данных. Провести расчет показателей динамики с помощью электронных таблиц. Исходные данные приведены в табл. 1.4.

Таблица 1.4. Исходные данные

№ уровня	Значение уровня	№ уровня	Значение уровня
t	yt	t	yt
1	56,2	13	89,2
2	57,6	14	85,6
3	60,1	15	71,4
4	59,3	16	73
5	64,9	17	74,4
6	64	18	79,2
7	64,2	19	78,5
8	70,1	20	79,5
9	63,7	21	85,9
10	69	22	97,6
11	66	23	97
12	67,6	24	103

На базе имеющего ряда данных (табл.1.4) проведем графический анализ данных, построив график динамики наблюдаемого процесса (производства продукции). Диаграмма представлена на рис.1.1.

Электронная таблица расчета значений показателей динамики приведена на рис.1.2.

Рисунок 1.1. График динамики исследуемого динамического ряда

Проведем расчеты показателей динамики и представим результаты расчета в табл.1.5 и 1.6.

Таблица 1.5. Расчет показателей динамики (Характеристики динамики)

№ уровня	Значение уровня	Абсолютный прирост		Темп роста		Темп прироста
t	yt	Базисный	Цепной	Базисный	Цепной	Базисный	Цепной
1	56,2
2	57,6	1,4	1,4	102,491	102,491	2,491	2,491
3	60,1	3,9	2,5	106,940	104,340	6,940	4,340
4	59,3	3,1	-0,8	105,516	98,669	5,516	-1,331
5	64,9	8,7	5,6	115,480	109,444	15,480	9,444
6	64	7,8	-0,9	113,879	98,613	13,879	-1,387
7	64,2	8	0,2	114,235	100,313	14,235	0,313
8	70,1	13,9	5,9	124,733	109,190	24,733	9,190
9	63,7	7,5	-6,4	113,345	90,870	13,345	-9,130
10	69	12,8	5,3	122,776	108,320	22,776	8,320
11	66	9,8	-3	117,438	95,652	17,438	-4,348
12	67,6	11,4	1,6	120,285	102,424	20,285	2,424
13	89,2	33	21,6	158,719	131,953	58,719	31,953
14	85,6	29,4	-3,6	152,313	95,964	52,313	-4,036
15	71,4	15,2	-14,2	127,046	83,411	27,046	-16,589
16	73	16,8	1,6	129,893	102,241	29,893	2,241
17	74,4	18,2	1,4	132,384	101,918	32,384	1,918
18	79,2	23	4,8	140,925	106,452	40,925	6,452
19	78,5	22,3	-0,7	139,680	99,116	39,680	-0,884
20	79,5	23,3	1	141,459	101,274	41,459	1,274
21	85,9	29,7	6,4	152,847	108,050	52,847	8,050
22	97,6	41,4	11,7	173,665	113,620	73,665	13,620
23	97	40,8	-0,6	172,598	99,385	72,598	-0,615
24	103	46,8	6	183,274	106,186	83,274	6,186

Таблица 1.6. Таблица расчета показателей среднего уровня

Наименование показателя	Значение показателя	Экстраполяция на основе среднего темпа роста
средний уровень., уср	74,042	прогноз, n+j	j	уn+j
средний прирост	2,035	25	1	105,749
средний темп роста	102,669	26	2	108,571
средний темп прироста	2,669	27	3	111,469

Рисунок 1.2. ЭТ расчета показателей динамики

Алгоритм расчета показателей динамики приведен в табл.1.7 и в виде электронной таблице на рис.1.3.

Таблица 1.7. Алгоритм расчета таблицы показателей динамики - Характеристики динамики ряда

№ уровня	Значение уровня	Абсолютный прирост		Темп роста		Темп прироста
t	yt	Базисный	Цепной	Базисный	Цепной	Базисный	Цепной
1	56,2
2	57,6	=B5-$B$4	=B5-B4	=B5/$B$4*100	=B5/B4*100	=(B5-$B$4)/$B$4*100	=(B5-B4)/B4*100
3	60,1	=B6-$B$4	=B6-B5	=B6/$B$4*100	=B6/B5*100	=(B6-$B$4)/$B$4*100	=(B6-B5)/B5*100
4	59,3	=B7-$B$4	=B7-B6	=B7/$B$4*100	=B7/B6*100	=(B7-$B$4)/$B$4*100	=(B7-B6)/B6*100
5	64,9	=B8-$B$4	=B8-B7	=B8/$B$4*100	=B8/B7*100	=(B8-$B$4)/$B$4*100	=(B8-B7)/B7*100
6	64	=B9-$B$4	=B9-B8	=B9/$B$4*100	=B9/B8*100	=(B9-$B$4)/$B$4*100	=(B9-B8)/B8*100
7	64,2	=B10-$B$4	=B10-B9	=B10/$B$4*100	=B10/B9*100	=(B10-$B$4)/$B$4*100	=(B10-B9)/B9*100
8	70,1	=B11-$B$4	=B11-B10	=B11/$B$4*100	=B11/B10*100	=(B11-$B$4)/$B$4*100	=(B11-B10)/B10*100
9	63,7	=B12-$B$4	=B12-B11	=B12/$B$4*100	=B12/B11*100	=(B12-$B$4)/$B$4*100	=(B12-B11)/B11*100
10	69	=B13-$B$4	=B13-B12	=B13/$B$4*100	=B13/B12*100	=(B13-$B$4)/$B$4*100	=(B13-B12)/B12*100
11	66	=B14-$B$4	=B14-B13	=B14/$B$4*100	=B14/B13*100	=(B14-$B$4)/$B$4*100	=(B14-B13)/B13*100
12	67,6	=B15-$B$4	=B15-B14	=B15/$B$4*100	=B15/B14*100	=(B15-$B$4)/$B$4*100	=(B15-B14)/B14*100
13	89,2	=B16-$B$4	=B16-B15	=B16/$B$4*100	=B16/B15*100	=(B16-$B$4)/$B$4*100	=(B16-B15)/B15*100
14	85,6	=B17-$B$4	=B17-B16	=B17/$B$4*100	=B17/B16*100	=(B17-$B$4)/$B$4*100	=(B17-B16)/B16*100
15	71,4	=B18-$B$4	=B18-B17	=B18/$B$4*100	=B18/B17*100	=(B18-$B$4)/$B$4*100	=(B18-B17)/B17*100
16	73	=B19-$B$4	=B19-B18	=B19/$B$4*100	=B19/B18*100	=(B19-$B$4)/$B$4*100	=(B19-B18)/B18*100
17	74,4	=B20-$B$4	=B20-B19	=B20/$B$4*100	=B20/B19*100	=(B20-$B$4)/$B$4*100	=(B20-B19)/B19*100
18	79,2	=B21-$B$4	=B21-B20	=B21/$B$4*100	=B21/B20*100	=(B21-$B$4)/$B$4*100	=(B21-B20)/B20*100
19	78,5	=B22-$B$4	=B22-B21	=B22/$B$4*100	=B22/B21*100	=(B22-$B$4)/$B$4*100	=(B22-B21)/B21*100
20	79,5	=B23-$B$4	=B23-B22	=B23/$B$4*100	=B23/B22*100	=(B23-$B$4)/$B$4*100	=(B23-B22)/B22*100
21	85,9	=B24-$B$4	=B24-B23	=B24/$B$4*100	=B24/B23*100	=(B24-$B$4)/$B$4*100	=(B24-B23)/B23*100
22	97,6	=B25-$B$4	=B25-B24	=B25/$B$4*100	=B25/B24*100	=(B25-$B$4)/$B$4*100	=(B25-B24)/B24*100
23	97	=B26-$B$4	=B26-B25	=B26/$B$4*100	=B26/B25*100	=(B26-$B$4)/$B$4*100	=(B26-B25)/B25*100
24	103	=B27-$B$4	=B27-B26	=B27/$B$4*100	=B27/B26*100	=(B27-$B$4)/$B$4*100	=(B27-B26)/B26*100
Средние показателя					Экстраполяция на основе среднего темпа роста
средний уровень-Yср			=СУММ(B4:B27)/A27		n+j	j	Yn+j
средний прирост			=(B27-B4)/(A27-1)		25	1	=$B$27*($D$33/100)^G32
средний темп роста			=(B27/B4)^(1/(A27-1))*100		26	2	=$B$27*($D$33/100)^G33
средний темп прироста			=D33-100		27	3	=$B$27*($D$33/100)^G34

Рисунок 1.3. Электронная таблица алгоритма расчета показателей динамики - Характеристики динамики ряда

Если в динамическом ряду наблюдаются периодические колебания, например сезонного характера, то они определяются специальными показателями, которые называются индексами сезонности (I_S). Совокупность этих показателей отражает именно сезонную волну. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.

Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет, распределенных по месяцам, что дает возможность выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года.

Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня ( ), затем из них вычисляется среднемесячный уровень для всего ряда ( ) и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, т.е.

(1.3)

Общий средний уровень определяется по формуле:

,

или

,

где m – число лет; – сумма среднегодовых уровней ряда динамики.

Далее рассчитываются по месяцам года индексы сезонности:

В формуле (1.3) базой сравнения является общий для анализируемого ряда динамики средний уровень .

Поскольку для всех эмпирических уровней анализируемого ряда динамики этот общий уровень является постоянной величиной, то применение формулы (1.3) называется способом постоянной средней.

Если же ряд динамики содержит определенную тенденцию в развитии, то прежде чем вычислить сезонную волну, фактические данные должны быть обработаны так, чтобы была выявлена общая тенденция. Обычно для этого прибегают к аналитическому выравниваю ряда динамики.

При использовании способа аналитического выравнивания ход вычисления индексов следующий:

• берутся данные поквартально за несколько лет;

• по соответствующему полиному вычисляется для каждого месяца (квартала) выровненные уровни на момент времени t;

• определяются отношения фактических месячных (квартальных) данных (y_i) к соответствующим выровненным данным ( ) в %:

;

• находятся среднеарифметические из процентных соотношений, рассчитанных по одноименным периодам в %:

,

где n – число одноименных периодов.

В общем виде формулу расчета индекса сезонности данным способом можно записать так:

. (1.4)

Расчет заканчивается проверкой правильности вычисления индексов. Этот способ называется способом переменной средней.

Вычисленные средние индексы сезонности составляют модель сезонной волны во внутригодовом цикле. Для большей наглядности можно модель сезонной волны изобразить на графике.