7.2. Выделение сезонных колебаний во внутригодовой динамике методом центрирования времени

В целях наилучшего использования условий, благоприятствующих производству, обращению и потреблению товаров, необходимо всестороннее и глубокое изучение в рядах внутригодовой динамики данных, отображающих сезонные подъемы этих процессов.

При статистическом изучении в рядах внутригодовой динамики сезонных колебаний решаются следующие две взаимосвязанные задачи: выявление специфики развития изучаемого явления во внутригодовой динамике; изменение сезонных колебаний изучаемого явления с построением модели сезонной волны.

В этой связи решим следующую задачу. По данным о продаже мяса птицы по региону (тонн) за период 2005-2008гг., в разрезе кварталов, вычислим индексы сезонных колебаний реализации данных продуктов. Данные представлены в табл.7.8, таблица расчета приведена на рис.7.6

Таблица 7.8. Исходные данные по годам в разрезе кварталов

Квартал	2005	2006	2007	2008
I	828	998	1055	1019
II	609	843	898	852
III	567	794	825	746
IV	974	975	1117	1128
Годовой объем продаж	2978	3610	3895	3745
Темпы роста в % к 2005 г.	100,00%	121,22%	130,79%	103,74%
в % по годам	-	120,7	107,89%	96,15%
Абсолютный прирост по годам, т	-	632	917	135
Темп прироста		21,22%	30,79%	-17,48%

Рисунок 7.6. Систематизация исходных данных и расчет промежуточных показателей динамики

По данным табл.7.8. построим график динамики продаж (рис.7.7).

Рисунок 7.7. Динамика продаж

По исходным данным и динамике продаж на графике, можно сделать вывод о росте реализации данной продукции за исследуемый период и о том, что расчет индексов сезонности можно вести способом переменной средней, по формуле .

Для определения в формуле теоретических уравнений тренда важно правильно подобрать функцию, по которой будет производиться аналитическое выравнивание в анализируемом ряду динамики. От обоснованности функции во многом зависит фактическая значимость получаемых в анализе индексов сезонности.

По исходным данным и динамике диаграммы (рис.7.7) можно предположить, что для расчета теоретических уровней тренда может быть использована линейная функция.

В основе такого предположения лежит характер усиления абсолютных приростов. Цепные темпы роста показывают снижение темпа роста реализации данной продукции из года в год. 120,7% > 107,9% > 96,15%.

Все это, позволяют сделать предположение о возможном применении в аналитическом выравнивании параболы второго порядка

Определим параметры уравнения связи, для чего составим таблицу расчетных показателей (табл.7.9).

Таблица 7.9. Матрица расчетных показателей

Период (квартал), t	Объем продаж, y	t0	t2	t4	yt	yt2
1	828	-15	225	50625	-12420	186300
2	609	-13	169	28561	-7917	102921
3	567	-11	121	14641	-6237	68607
4	974	-9	81	6561	-8766	78894
5	998	-7	49	2401	-6986	48902
6	843	-5	25	625	-4215	21075
7	794	-3	9	81	-2382	7146
8	975	-1	1	1	-975	975
9	1055	1	1	1	1055	1055
10	898	3	9	81	2694	8082
11	825	5	25	625	4125	20625
12	1117	7	49	2401	7819	54733
13	1019	9	81	6561	9171	82539
14	852	11	121	14641	9372	103092
15	746	13	169	28561	9698	126074
16	1128	15	225	50625	16920	253800
136	14228	0	1360	206992	10956	1164820

Определим сначала уравнение линейной функции при Σt = 0, когда расчет параметров производится по формулам (6.23 – 6.24):

а₀ = 14228/16 = 889,25

а₁ = 10956/1360 = 8,05

По вычисленным параметрам синтезируется модель тренда на основе функции вида

(7.6)

По модели тренда (1) рассчитаем теоретические уровни тренда для каждого периода анализируемого ряда значений, расчет представлен в табл.7.10.

Для 1 квартала имеем

, и т.д.

Таблица 7.10. Значения линейного тренда

Период (квартал)	Объем продаж, у	у расч
1	828	768,4118
2	609	784,5235
3	567	800,6353
4	974	816,7471
5	998	832,8588
6	843	848,9706
7	794	865,0824
8	975	881,1941
9	1055	897,3059
10	898	913,4176
11	825	929,5294
12	1117	945,6412
13	1019	961,7529
14	852	977,8647
15	746	993,9765
16	1128	1010,088
136	14228	14228
а0 =	889,25
а1 =	8,055882

Рассмотрим использование, для выделения тренда, нелинейной функции, в частности параболы второго порядка. По формулам (6.26), при Σt = 0, расчет параметров приводит к следующим значениям коэффициентов полинома второй степени:

а₀ = 930,69

а₁ = 8,05

а₂ = - 0,488

По вычисленным параметрам строим модель тренда по нелинейной функции следующего вида

y = 930,69 +8,05*t - 0,488*t² (7.7)

По модели (7.7) рассчитываются теоретические уровни для каждого периода анализируемого ряда динамики у_параб

Для 1 квартала имеем

у_параб(t = 1) =930,69 + 8,05* (-15) – 0,488*(-15) = 700,1519 и т.д.

Полученные теоретические уровни тренда приведены в табл.7.11.

Таблица 7.11. Расчет уровней тренда по параболической функции

квартал	Объем продаж	t0	t2	t4	yt	yt2	у расч (линейн)	у расч (параб)
1	828	-15	225	50625	-12420	186300	768,4118	700,1519608
2	609	-13	169	28561	-7917	102921	784,5235	743,5676471
3	567	-11	121	14641	-6237	68607	800,6353	783,0827731
4	974	-9	81	6561	-8766	78894	816,7471	818,6973389
5	998	-7	49	2401	-6986	48902	832,8588	850,4113445
6	843	-5	25	625	-4215	21075	848,9706	878,2247899
7	794	-3	9	81	-2382	7146	865,0824	902,1376751
8	975	-1	1	1	-975	975	881,1941	922,15
9	1055	1	1	1	1055	1055	897,3059	938,2617647
10	898	3	9	81	2694	8082	913,4176	950,4729692
11	825	5	25	625	4125	20625	929,5294	958,7836134
12	1117	7	49	2401	7819	54733	945,6412	963,1936975
13	1019	9	81	6561	9171	82539	961,7529	963,7032213
14	852	11	121	14641	9372	103092	977,8647	960,3121849
15	746	13	169	28561	9698	126074	993,9765	953,0205882
16	1128	15	225	50625	16920	253800	1010,088	941,8284314
136	14228	0	1360	206992	10956	1164820	14228	14228

Коэффициенты уравнения

а0 =	889,25
а1 =	8,056
а2 =	-0,488

Диаграмма тренда по рассчитанным параметрам уравнений параболы приведена на рис.7.8.

Рисунок 7.8. Нелинейный тренд по полиному 2 степени

Проверим правильность расчета параметров уравнения регрессии при расчете по команде «Добавить уравнение регрессии». Уравнение и вид графика приведены на рис.7.9. Видно что уравнение отличается по параметрам от предыдущих значений. Это объясняется тем, что диаграмма и расчет параметров, система сделала при нормальных значениях времени, а не центрированных. Поэтому при определении расчетных значений по уравнению

y = 652,84 * t + 49,267 * t - 1,9503 * t²

расчетные значения совпадают и совпадают графики уравнений.

Рисунок 7.9. Уравнение и форма параболы для нелинейной функции

Для сравнения, на рис.7.10 приведены диаграммы всех графиков, по полученным линейному уравнению и параболе.

Рисунок 7.10. Диаграммы функций линейной и параболы

Рассчитаем показатели средней относительной ошибки аппроксимации (ε) для линейного уравнения и параболы

- для линейной модели, ε = 14,87%,

- для параболической функции ε = 14,93% .

Из сравнения вычисленных значений ошибки аппроксимации следует, что данные функции имеют примерно одинаковую достоверность, но линейная функция дает основания иметь более долговременную тенденцию и она будет предпочтительнее.

Поэтому определение индексов сезонности реализации данной продукции (табл.7.12) следует осуществлять на базе теоретических уровней линейного тренда:

Таблица 7.12. Матрица расчетных показателей для определения ошибки аппроксимации для параболической функции

Квар тал	Объем продаж	у расч (линейн)	у расч (параб)	(У-ур)/у (парабола)	модуль	(У-ур)/у линейн	модуль
1	828	768,4118	768,412	700,152	0,1544058	0,072	0,072
2	609	784,5235	784,524	743,568	0,2209649	-0,288	0,288
3	567	800,6353	800,635	783,083	0,3810984	-0,412	0,412
4	974	816,7471	816,747	818,697	0,1594483	0,161	0,161
5	998	832,8588	832,859	850,411	0,1478844	0,165	0,165
6	843	848,9706	848,971	878,225	0,041785	-0,007	0,007
7	794	865,0824	865,082	902,138	0,1361935	-0,090	0,090
8	975	881,1941	881,194	922,150	0,0542051	0,096	0,096
9	1055	897,3059	897,306	938,262	0,1106524	0,149	0,149
10	898	913,4176	913,418	950,473	0,0584332	-0,017	0,017
11	825	929,5294	929,529	958,784	0,162162	-0,127	0,127
12	1117	945,6412	945,641	963,194	0,1376959	0,153	0,153
13	1019	961,7529	961,753	963,703	0,0542657	0,056	0,056
14	852	977,8647	977,865	960,312	0,127127	-0,148	0,148
15	746	993,9765	993,976	953,021	0,2775075	-0,332	0,332
16	1128	1010,088	1010,088	941,828	0,1650457	0,105	0,105
136	14228	14228	14228	-0,422	2,389	-0,462	2,379
							14,87%

Теоретические уровни тренда анализируемого ряда динамики изображены на графике (рис. 7.11).

Рисунок 7.11. Фактическая реализация мяса птицы по периодам и тенденция продаж

Из графика видно, что уменьшение продаж приходится на II и III кварталы. Диаграмма также показывает, что за указанный период объем продаж имеет тенденцию к росту.

Для определения индексов сезонности i_S используется матрица расчетных показателей (табл. 7.13.).

Таблица 7.13. Расчет индексов сезонности

квартал	Объем продаж	у расч	Индекс сезонности
		(линейн)	у/урасч
1	828	768,4118	107,75%
2	609	784,5235	77,63%
3	567	800,6353	70,82%
4	974	816,7471	119,25%
5	998	832,8588	119,83%
6	843	848,9706	99,30%
7	794	865,0824	91,78%
8	975	881,1941	110,65%
9	1055	897,3059	117,57%
10	898	913,4176	98,31%
11	825	929,5294	88,75%
12	1117	945,6412	118,12%
13	1019	961,7529	105,95%
14	852	977,8647	87,13%
15	746	993,9765	75,05%
16	1128	1010,088	111,67%

Для элиминирования действия факторов случайного порядка необходимо усреднить полученные индивидуальные индексы сезонности. Для этого по формуле производится расчет средних индексов сезонности по одноименным кварталам анализируемого ряда внутригодовой динамики:

За 1 квартал = 93,86%

За 2 квартал = 105,39%

За 3 квартал = 105,69%

За 4 квартал = 94,95%

Построим график среднего индекса сезонности по кварталам с учетом 100% уровня (рис.7.12). Из графика видно, что уменьшение продаж приходится на 1 и 4 кварталы. Тренд же показывает, что объем продаж имеет общую тенденцию к росту.

Рисунок 7.12. Сезонная волна продажи мяса птицы по региону в пределах кварталов

Вычисленные средние индексы сезонности составляют модель сезонной волны реализации мяса птицы по региону во внутригодовом цикле. Наибольший объем продаж приходится на 2 и 3 кварталы с превышением среднегодового уровня примерно на 5,5%. В 1 и 3 кварталах происходит снижение среднегодового уровня соответственно на 6% и 5%. Более наглядно полученная модель сезонной волны представлена графически (рис.7.12).

Это можно объяснить тем, что состав потребностей человека в продуктах питания неодинаков во внутригодовой динамике. Данный факт необходимо учесть производителям данной продукции.