6.2. Определение парметров линейной функции матричным способом

Для определения уравнения линейной регрессии, необходимо рассчитать его коэффициенты. Определим эти коэффициенты с использованием теории матриц, для этого запишем регрессионную зависимость в виде У =ХА , где

	у1			1	х1
	у2			1	х2			а0
У=	.....	,	Х=	...	.....	,	А =
	у9			1	х9			а1
	у10			1	х10

Применяя метод наименьших квадратов для определения коэффициентов регрессии к указанной выше зависимости, получим:

А = ( Х ^т Х )^-1 _* Х ^т У, где т означает транспонированную матрицу.

Для проведения расчетов введем следующие обозначения:

С = ( Х ^т Х )^-1

В = Х ^т У,

тогда формула расчетов коэффициентов примет следующий вид:

А = С _* В.

Для решения определяют матрицу С, затем находят определитель матрицы Х ^т Х .- d.

Для нахождения обратной матрицы Х ^т Х необходимо:

-транспонировать;

-заменить каждый элемент транспонированной матрицы на алгебраическое дополнение умноженное на соответствующий минор строки и столбца;

-разделить полученные элементы матрицы на определитель d.

Таким образом, согласно описанному алгоритму будем иметь:

1. матрицу ( Х ^т Х ) ^т, которая совпадает с исходной матрицей (для симметричной матрицы).

2. матрицу С. Для проверки расчета матрицы С, умножим ее на исходную матрицу.

3. Рассчитаем матрицу В = Х ^т У

4. Перейдем к последнему шагу расчета коэффициентов регрессионной зависимости по выражению А = ( Х ^т Х )^-1 _* Х ^т У.

О ткуда находят параметры уравнения связи и формируют саму аппроксимирующую функцию y. Рассчитывают среднюю ошибку и коэффициенты доверия:

t_a0 =½a₀ / m _a0½

t_a1=½ a₁ / m _a1½

На основании полученных значений коэффициентов доверия, определяют значимые коэффициенты, сравнивая его с табличным. Если параметр значимый, то для него определяют доверительный интервал a₁ ± t m _a1 на базе которого делают вывод, что исследуемый фактор в уравнении регрессии достоверен и данную форму связи целесообразно использовать в исследовании.

6.3. Решение уравнения связи методом центрирования времени

Основное предположение процедуры моделирования экономических процессов при выделении тренда, заключается в том что центр временного ряда переносится в начало координат. Тем самым показатель периода времени центрируется, т.е. значение 0 – начала координат, помещается в середину исследуемого интервала, и тогда сумма значений показателя времени при расчетах, равно нулю, т.е. t = 0.

Это позволяет упростить сами нормальные уравнения, а также уменьшить абсолютные значения величин, участвующих в расчете. Если до переноса начала координат t было равно 1,2,3,...,n то после переноса:

для четного числа членов ряда t =...,-5;-3;-l;l;3;5;...,

для нечетного числа членов ряда t =...,-3;-2;-l;0;l;2;3;... .

Таким образом, промежуточное значение , где k - нечетное число, равна 0. Такой под­ход существенно упрощает систему нормальных уравнений (6.4.) и процесс её решения.

В этом случае оценки параметров соответствующих полиномов имеют следующий вид:

для прямой

; (6.15)

для параболы

(6.16)

Это позволяет упростить вычисления параметров уравнения.

Если используется, вида:

(6.17)

Рассмотрим выравнивание ряда динамики по линейной функции времени, т.е. когда аналитическое уравнение аппрокисмирующей функции имеет вид

y_t = a₀+a₁ t, где t - порядковый номер периодов.

Параметры функции рассчитываются по методу наименьших квадратов и система нормальных уравнений в данном случае имеет вид:

Если можно предположить нелинейный характер развития процесса, то возможно применение полинома второй или третьей степени (параболы второго порядка, кубического уравнения) или степенных, показательных или логарифмических видов уравнений связи.

Например, парабола второго порядка имеет вид y_t = a₀+a₁t+a₂t² ,

y = a₀ + а₁/t - гиперболическая зависимость.

y = a₀t^а1 - степенная зависимость.

y = a₀ + а₁* ln t - логарифмическая зависимость,

и др.

Таким образом, основываясь на исследовании динамики показателя изменения уровней анализируемого ряда, можно сделать предположение о возможном применении в аналитическом выравнивании исходных данных вышеприведенных функций времени.

Для решения вопроса о том, какая из этих функций является более адекватной, можно применить критерий минимизации стандартной ошибки аппроксимации:

(6.18)

При составлении прогнозов по выявленным функциям связи пользуются также и интегральной оценкой, которая называется доверительный интервал прогноза. Ее величина определяется как:

(6.19)

где среднее квадратическое отклонение от тренда

табличное значение t-критерия Стьюдента, при уровне значимости .

Величина вычисляется следующим образом:

(6.20)

где и - соответственно фактические и расчетные значения уровней динамического ряда;

- число уровней ряда;

- количество параметров в уравнении тренда.

Затем вычисляется величина средней относительной ошибки аппроксимации:

(6.21)

Для определения параметров уравнений (6.8) и (6.9) составляется матрица расчетных показателей.

При смещенном временном интервале процедура расчета проводится следующим образом.

Для линейной функции расчет параметров производится по системе уравнений:

(6.22)

Для значений t = 0, параметры а₀ и а₁ рассчитываются по формуле:

(6.23)

(6.24)

Для функции, представляющей параболу второго порядка у_t = a₀+a₁t+a₂t² используется следующая система нормальных уравнений:

(6.25)

Расчет параметров по этой системе при условии, что при t = 0 осуществляется по формулам:

;

; (6.26)

.

Подставляя значения параметров в уравнение связи, рассчитываются теоретические уровни для каждого периода анализируемого ряда динамики y(t). Далее определятся комплекс коэффициентов достоверности, на основании которых и решается, какую следует выбрать модель тренда для дальнейших исследований.