3.3. Адаптивные методы. Метод экспоненциального сглаживания

При экстраполяции и моделировании экономических процессов, содержание самих процессов характеризуется лавинообразными и насыщающимися тенденциями. Таки процессы удобно описывать экспоненциальными функциями. Для класса экспоненциальных кривых, в отличие от полиномов, характерной является зависимость приростов от влияния самой функции. Эти кривые хорошо описывают процессы, имеющие «лавинообразный» характер, когда прирост зависит от достигнутого уравнения функции.

Суть данного метода заключается в том, что установленные закономерности развития экономического процесса в прошлом распространяется на ближайшее будущее, но с учетом причинно-следственного характера зависимостей между экономическими величинами, что обычно не бывает при использовании линейных функций. Это обстоятельство обуславливает применение этих методов в основном при краткосрочном прогнозировании.

Временной ряд сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, в которой веса подчиняются экспоненциальному закону. Взвешенная скользящая средняя с экспоненциально распределенными весами характеризует значение процесса на конце интервала сглаживания, являясь средней характеристикой последних уровней ряда. Именно это свойство используется при прогнозировании. Исходя из существующей инерции экономических процессов, вследствие чего, процесс в прогнозируемом периоде протекает примерно в тех же условиях. что и в анализируемом периоде, такая взвешенная скользящая средняя может быть вполне действенным инструментом для разработки прогнозов [5,6,7,8].

Некоторые авторы [4,9] считают что всем этим условиям удовлетворяет только метод экспоненциального сглаживания, что только его целесообразно использовать при краткосрочном прогнозировании. Это объясняется также тем, что прогноз, сделанный по методу экспоненциального сглаживания, учитывает случайный компонент процесса. Когда как, например, основой прогноза, построенного с помощью кривых роста, является экстраполяция тренда, т. е. регулярной составляющей исследуемого процесса. А при краткосрочном прогнозировании также важен учет именно случайного компонента.

В практике моделирования и анализа экономических процессов большое распространение получили именно методы адаптивного моделирования и прогнозирования, в основе которых лежит модель экспоненциального сглаживания, разработанная Р. Брауном.

Причем различают также простое экспоненциальное сглаживание и взвешенное экспоненциальное сглаживание.

Сущность этого метода заключается в том, что временной ряд сглаживается с помощью взвешенной скользящей средней, в которой веса распространяются по экспоненциальному закону. т.е. эта средняя может служит для оценки и текущей коррекции математического ожидания процесса. Взвешенная скользящая средняя с экспоненциально распределенными весами характеризует значение процесса на конце интервала сглаживания являясь средней характеристикой последних уровней ряда. Именно это свойство используют при прогнозировании и исходя из существующей инерции экономических процессов, в следствии чего процесс в прогнозируемом периоде протекает примерно в тех же условиях, что и в анализируемом периоде. Такая взвешенная скользящая средняя может быть вполне действенным инструментом для разработки прогнозов.

Такая взвешенная скользящая средняя характеризует значения динамического ряда в конце интервала сглаживания, т.е. является характеристикой последующих уровней ряда.

Постановка задачи экспоненциального сглаживания заключается в следующем. Пусть имеется временной ряд { } ( ). Этот ряд можно выразить полиномом р-й степени:

(3.5.)

Требуется по данным ряда составить прогноз на моменты времени ( ), путем взвешивания наблюдений ряда { }, таким образом, чтобы более поздним наблюдениям придать большие веса по сравнению с более ранними наблюдениями.

Прогноз уровней ряда { } на период времени ( ), где , может быть построен с помощью разложения в ряд Тейлора:

(3.6.)

где - k-я производная, взятая в момент времени .

Согласно Р. Брауну, любая k-я производная (k = 0,1…p) уравнения (3.6) может быть выражена через линейные комбинации экспоненциальных средних до (p+1)^го порядка. Основной целью экспоненциального сглаживания при этом является вычисление рекуррентных поправок к оценкам коэффициентов уравнения вида (3.5).

Введем следующие определения. Экспоненциальная средняя первого порядка для исходного ряда может быть представлена следующим образом:

(3.7.)

где - экспоненциальная средняя 1-го порядка;

- коэффициент сглаживания (0 <  < 1).

Экспоненциальную среднюю k-го порядка, соответственно определяют следующим образом:

(3.8)

Эта рекуррентная формула для определения экспоненциальной средней приведена Р. Брауном. Новая экспоненциальная средняя есть сумма предыдущей плюс доля ( ) от разности между новыми наблюдаемыми и предвиденными, сглаженными значениями уровней.

Таким образом, если для периода t = k - 1 необходимо построить прогноз на момент времени t = k , то прогноз определяется показателем, вычисляемым по (3.8).

Коэффициенты полиномов, используемых для прогноза могут быть получены через сглаженные значения ряда. Например, для линейной модели их формулы имеют вид:

(3.9.)

Начальные величины и могут быть получены исходя из (6) подстановкой параметров b₀ и b₁, полученных при выравнивании динамического ряда по уравнению тренда с использованием метода наименьших квадратов: .

При построении прогнозов с помощью метода экспоненциального сглаживания необходимо решить следующие задачи:- выбор параметра сглаживания, - выбор начального уровня сглаживания S₀, - выбор начального момента сглаживания (длины базы сглаживания или прогноза).

Выбрать оптимальный уровень параметра сглаживания можно исходя из длины интервала сглаживания. Константа сглаживания  интерпретируется как показатель скорости адаптации и старения данных; для одних рядов  должен быть достаточно высоким, для других - низким.

Если константа  близка к единице, то при прогнозе учитывается в основном влияние лишь последних наблюдений; если  близка к нулю, то веса, по которым взвешиваются уровни ряда, убывают медленно, т. е. при прогнозе в значительной степени учитываются все прошлые наблюдения. Если есть уверенность, что начальные условия достоверны, то следует выбирать небольшое значение параметра сглаживания . Если нет достаточной уверенности в прогнозировании начальных условий, то следует выбирать большую величину .

Таким образом, если при моделировании необходимо придать больший вес последним данным, то значение  выбирается близким к единице, если необходимо учесть большую часть уже имеющихся прошлых данных, то берутся небольшие значения коэффициента сглаживания.

При этом вычисляется по формуле:

(3.10.)

где - число наблюдений, входящих в интервал сглаживания.

Для начала вычислений по рекурентной формуле (3.8), необходимо определить начальное значение S₀. При выборе начального уровня, в качестве S₀ можно взять первый член ряда, т.е. положить S₀ = y₁. Также, за S₀ берется среднее значение нескольких первых или предыдущих уровней ряда. А если ряд y_t стационарный, т. е. тренд отсутствует, то в качестве S₀ можно взять среднее значение ряда.

В случае отсутствия предварительных соображений, на основе которых выбираются начальные условия, можно воспользоваться специальными формулами Р. Брауна для выбора начальных условий:

(3.11.)

Для получения текущего значения скользящих средних используются следующие формулы:

(3.12.)

Затем подсчитываются параметры a₀ и a₁ которые используются в качестве коэффициентов прямой для расчета выравненных уровней.

Проблема выбора начальных условий принципиально сводится к оценке погрешности метода. При использовании экспоненциального сглаживания можно построить прогнозные оценки уровня динамического ряда. Используя оценки параметров на момент времени t, могут быть получены прогнозы уровней ряда на несколько периодов вперед.

Ошибка прогноза определяется:

(3.13)

где - среднее квадратическое отклонение, вычисляется для отклонения от линейного тренда по формуле:

(3.14.)

Метод экспоненциально-взвешенного среднего (ЭВС). Метод ЭВС включает дополнительно систему весов (значимости) исходных данных, включаемых в аппроксимирующую модель. При этом, веса наблюдений, включаемых в рассмотрение убывают по экспоненциальному закону:

0 <  <1, а  ряда  1

ЭВС рассчитывается по формуле:

U_t =  * d_t + (1 - ) U_t-1, где

U_t — ЭВС; d_t — текущее фактическое значение показателя в момент времени t

U_t-1 — прошлое значение среднего;  — параметр сглаживания или насколько быстро будет уменьшаться вес предшествующих наблюдений и, следовательно, степень их влияния на сглаживающий уровень.

При практическом использовании метода возникают некоторые затруднения. Основными трудностями является определение: -  (значения параметра сглаживания), - начального значения U₀.

Чем больше величина , тем меньшее оказывается влияние предшествующих уровней и, следовательно, меньшим оказывается сглаженное значение ЭВС. При  = 0, U_t = U₀ — случай полного отсутствия адаптации.

При  = 1, U_t = d_t — случай самой простой - “наивной” модели, в соответствии с которой прогноз на любой срок равен фактическому значению ряда.

Формула расчета  может быть принята в виде следующего выражения:

 = 2 / (n + 1),

где n — число уровней, входящих в интервал сглаживания.

В качестве удовлетворительного практического компромисса выбирают параметр сглаживания в виде значения из диапазона 0,1    0,3. Как правило, в результате испытания обнаруживается, что значение  близко к 1, то следует проверить законность выбора модели ЭВС, т.к. часто к большим значениям  приводит наличие в исследуемом ряду ярко выраженных тенденций или сезонных колебаний. Тогда для эффективных прогнозов требуется другая модель.

Метод ЭВС часто используется для краткосрочного прогнозирования. Тогда предполагается, что прогноз модели имеет вид:

, где

— прогноз, сделанный в момент t на r единиц времени или шагов вперед.

U_t =  y_t + (1 - ) U_t-1

U_t = y_t + U_t-1 - U_t-1

U_t = U_t-1 + (y_t - U_t-1)

С учетом этих рекурентных соотношений, формула прогнозирования может быть сведена к следующей:

Новый прогноз = величина предыдущего прогноза + скорректированная величина роста(на погрешность прогноза).

В этом заключается сущность применения процесса адаптации.

Задачу выбора U₀, определенного начального условия предполагается решать следующим образом: если есть информация о развитии явления в прошлом, то в качестве U₀ можно принять исходное среднее арифметическое всех имеющихся уровней ряда динамики или его части. Если такой информации нет, то за U₀ можно принять исходное или первое значение уровня ряда динамики y₁, или можно использоваться экспертные оценки.