3.2. Метод механического сглаживания. Скользящая средняя

Метод механического выравнивания представляет собой методику сглаживания временного эмпирического (наблюдаемого) ряда и построение производного ряда по расчетным данным, где в качестве расчетной величины выбирается либо среднее арифметическое, либо среднее арифметическое взвешенное. Сглаживание с помощью скользящего среднего основано на том, что в средних величинах взаимно погашаются случайные отклонения. Первоначально уровни временного ряда заменяются средними величинами, рассчитанными для определенного числа уровней ряда. Затем период сдвигается на одно наблюдение и расчет среднего повторяется.

Таким образом, в зависимости от используемого расчета, выделяют несколько методов выделения тенденции через сглаживание временного ряда:

1. Метод простой скользящей средней;

2. Метод взвешенной скользящей средней.

Метод простой скользящей средней, как один из способов реализации механизма механического сглаживания, предполагает выделение тенденции развития основной закономерности и выявление долговременной составляющей. Метод является одним из наиболее распространенных способов при выявлении тенденции развития является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглажи­вания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетны­ми, обладающими меньшей колеблемостью. Это способствует более чет­кому проявлению тенденции развития. Иногда сглаживание применяют как предварительный этап перед использованием других методов выделе­ния тенденции. Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и пе­риодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии про­цесса, и поэтому, являются важным инструментом при фильтрации ком­понент временного ряда.

Методика простого скользящего среднего, используется в основном, для выделения тенденции и краткосрочного прогнозирования (обычно на 1 шаг вперед), базируется на расчетном значении производного показателя, который определяется в виде усреднения его прошлых значений:

(3.1)

m_t — скользящее среднее значение показателя в настоящий период времени;

d_i — фактическое значение показателя в периоды времени t;

t - n — оценка значения от настоящего вниз;

i — период времени;

n — количество периодов.

Особенностями метода является необходимость иметь в запасе несколько наблюдений; чувствительность скользящего среднего обратно пропорциональна числу точек, входящих в среднюю; основной недостаток метода в том, что всем включаемым в процесс вычисления данным присваивается одинаковый вес, равный 1/n. Однако целесообразно считать, что новые, более свежие данные, должны иметь больший вес. Чувствительность скользящего среднего обратно пропорциональна m - числу точек, входящих в среднее, поэтому без изменения m чувствительность изменить невозможно

Алгоритм процедуры сглаживания по методу простой скользящей средней представляется в виде следующего набора шагов.

1. Определяется выборка временного ряда, использующаяся для исследования процесса. Выборка наблюдений упорядочивается в хронологическом порядке, т.е строится динамический ряд вида (у_t1, у_t2, …, у_tn) и график развития процесса, на базе которого определяется уровень колеблемости ряда.

2. Для временного ряда (у_t1, у_t2,…, у_tn) определяется интервал сглаживания m. В качестве интервала сглаживания берется часть наблюдения, т.е. часть ряда, выборка которой определяется в зависимости от колеблемости ряда, числа наблюдений в ряду. Причем объем выборки должен быть не менее трети объема длины ряда. Интервал сглаживания m_i включает в себя m последовательных уровней ряда (m < n). Выбор интервала сглаживания m определяется целями исследования и определяется следующим правилом: чем шире интервал планирования (сглаживания) m, тем в большей степени взаимопогашаются колебания ряда, т.е. тренд получается более плавным, выровненным.

3. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интер­вал сглаживания m как бы скользит по ряду с шагом, равным 1. Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, назы­ваются активным участком сглаживания.

4. Рассчитываются среднее арифметические из уровней ряда, входящих в интервал сглаживания m. При использовании скользящей средней с нечетным числом, первые уровни ряда сгладить нельзя, их значе­ния теряются.

5. Вычислив среднее значение для первого интервала m₁ , переходят к расчету средней для уровней следующих интервалов сглаживания m₂, m₃,…m_k . Общее количество интервалов сглаживания k определяется как k = n – m + 1. Таким образом, интервал сглаживания скользит по выборке временного ряда.

6. На этом шаге проводят замену фактических значений ряда y, стоящие либо в центре интервала сглаживания, либо в его конце, на соответствующее среднее значение, . Если интервал сглаживания есть нечетное число m = 2n + 1, то все уровни активного участка могут быть представлены в виде:

(3.2)

а скользящая средняя определена по формуле:

, (3.3)

В упрощенной форме, сглаженные значения (скользящее среднее) определяются по формуле:

,

где у_i – фактическое значение i-го уровня ряда; m – длина интервала сглаживания.

Обычно в качестве интервала сглаживания выбирают m = 3,4,5,….

При использовании данного метода, первые и последние значения средних уровней теряются, и их надо восстанавливаются путем последовательного прибавления среднего значения к последнему сглаженному уровню (при замещении центрального значения интервала сглаживания).

Процедура сглаживания приводит к полному устранению периоди­ческих колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной циклу, периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний желательно было бы исполь­зовать четырех- и двенадцатичленную скользящие средние, но при этом не будет выполняться условие нечетности длины интервала сглаживания. По­этому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

(3.4.)

Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с времен­ными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать метод скользящих средних:

Метод простой скользящей средней применим, если график ряда напоминает прямую. Если же тренд имеет значительные изгибы и характерно нелинейное развитие, то более надежным методом сглаживания является взвешенная скользящая средняя.

Рассмотрим решение задачи на выделение тренда методом простых скользящих средних.

Пример 3.1. Выделим на основании представленных данных тенденцию методом простого скользящего среднего.

Для решения данной задачи выполним следующие этапы алгоритма решения.

1. Определяется достоверная выборка исходного фактора y. Выборка наблюдений приведена в табл.3.1.

Таблица 3.1. Исходные данные временного ряда наблюдений

t	y	t	y	t	y
1	25	9	20	17	20
2	30	10	29	18	27
3	20	11	27	19	28
4	21	12	25	20	26
5	28	13	24	21	26
6	26	14	25	22	31
7	30	15	30	23	19
8	22	16	24	24	20
				25	20

2. Проводится графический анализ временного ряда с целью определения степени колеблемости выборки исходного ряда (рис.3.1). Анализ показывает, что колеблемость уровней временного ряда достаточно высока и требуется использование диапазона сглаживания высоких степеней.

Рисунок 3.1. Динамика наблюдаемых данных

3. Определяется длина серии, которая представляет собой интервал сглаживания. Величина диапазона сглаживания влияет на степень взаимопогашения колебаний ряда. Чем шире интервал, тем более плавной получится производная кривая. Выбираем диапазон сглаживания, начиная с m = 5.

4. Разбиваем наблюдения в виде исходного ряжа на интервалы сглаживания, причем последующий интервал отличный от предыдущего всего на один элемент ряда. Для m = 5:

первый диапазон выбирается такой - m₁ = (у₁,у₂,у₃,у₄,у₅),

второй диапазон - m₂ = (у₂,у₃,у₄,у₅, у₆ ) и т.д.

5. Для каждого диапазона сглаживания находим арифметическую среднюю.

6. Сделаем замену фактических значений исходного ряда расчетными, т.е. средними – в виде нового производного ряда из расчетных средних.

7. Построим производный ряд из полученных средних значений и сделаем его графический анализ. Если тренд определяется, то можно определить прогнозное значение, если нет – следует изменить диапазон сглаживания на больший. Для расчета прогнозного значения используется последний активный участок сглаживания без первого элемента.

Проведем расчет скользящего среднего для m = 11, m = 15. Результаты расчетов скользящих средних и уровней прогнозных значений на 26-ой период приведены в табл.3.2

Таблица 3.2. Скользящие средние и прогноз на 26 период

t	y	Y(m=5)	Y(m=11)	Y(m=15)
1	25
2	30
3	20
4	21
5	28	24,8
6	26	25	25
7	30	25	25,83333
8	22	25,4	24,5
9	20	25,2	24,5
10	29	25,4	25,83333	25,1
11	27	25,6	25,66667	25,3
12	25	24,6	25,5	24,8
13	24	25	24,5	25,2
14	25	26	25	25,6
15	30	26,2	26,66667	25,8
16	24	25,6	25,83333	25,6
17	20	24,6	24,66667	24,6
18	27	25,2	25	25,1
19	28	25,8	25,66667	25,9
20	26	25	25,83333	25,6
21	26	25,4	25,16667	25,5
22	31	27,6	26,33333	26,1
23	19	26	26,16667	25,6
24	20	24,4	25	25,1
25	20	23,2	23,66667	24,1
26	Прогноз (скол. средн)	22,5	24,1	24,6

Графики исходного ряда и построенных трендов для диапазонов сглаживания m = 5, 11, 15 приведены на рис.3.2.

Рисунок 3.2. Графики исходного ряда и построенных трендов для

m = 5, 11, 15

Алгоритм взвешенной скользящей средней. При использовании взвешенной скользящей средней выравнивание осуществляется не на базе средних уровней, а с использованием полинома невысоких порядков, обычно параболы (полином второго порядка). Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами, а «взвешенная средняя» приписывает каждому уровню вес, зависящий от степени удаления текущего значения до значения, стоящего в середине интервала сглаживания.

Данный метод позволяет приписать каждому уровню ряда некоторый вес, который характеризует удаление данного уровня от уровня середины интервала. Выравнивание с помощью данного метода производится на основании следующих шагов:

1. Для каждого интервала сглаживания подбирается полином небольшой (обычно второй) степени, параметры которого находятся по методу наименьших квадратов.

2. Начало отсчета времени переносят в середину интервала сглаживания. Если расчет времени в пределах участка сглаживания рассчитывается от середины интервала, то, например, для m = 5, индекс i = -2,-1,0,1,2. При этом, параметры подобранного полинома для данного интервала сглаживания характеризуют весовые коэффициенты а₀,а₁,а₂ (для полинома второй степени) соответствующих перенесенных уровней интервала. Причем нет необходимости каждый раз заново вычислять весовые коэффи­циенты при уровнях ряда, входящих в интервал сглаживания, т.к. они будут одинаковыми для каждого интервала сглаживания.

3. Проводится расчет взвешенных скользящих средних по формулам зависящим от интервала сглаживания и выравнивающего полинома. Например, для интервала сглаживания m= 5 и выравнивающего полинома второй степени, расчетное значение сглаженного уровня определяется по формуле

4. По расчетным значениям выровненного ряда строится диаграмма тренда и проводится расчет прогнозных величин.