§ 5. Числовые характеристики дискретных случайных величин

Пусть X — дискретная случайная величина со значениями и их вероятностями р_i = P(X= i = 1, 2, ..., n.

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины X называется число

.

Если множество значений случайной величины X бесконечно (т.е. счетно), то математической ожидание определяется как бесконечный ряд

в случае, когда он абсолютно сходится. Если X – по-прежнему дискретная величина и (х) — некоторая функция, то математическое ожидание величины

 = (X) можно вычислить по формуле

при условии (в бесконечном случае), что ряд, стоящий справа, абсолютно сходится.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1) МC= C (C – константа);

2) М(CX) = CМ(X) для любой константы C;

3) М(X+Y) = М(X) + МY;

4) М(XY) = М(X)М(Y), если X и Y независимы.

Если заданы совместное распределение вероятностей случайных величин X и Y и функция (x,y) двух аргументов, то

.

Дисперсией случайной величины X называется число DX=М(X-МX)². Величина = называется среднеквадратическим отклонением.

Из определения дисперсии вытекает формула для вычисления дисперсии дискретной случайной величины:

при условии абсолютной сходимости ряда. Однако чаще удобнее бывает вычислять дисперсию по другой формуле:

DX=М(X²)-(МX)²

Для дисперсии справедливы следующие свойства.

1. DC=0 (дисперсия постоянной равна нулю);

2. D(CX)=C²DX;

3. D(X+C)=DX.

4. Если случайные величины X и Y независимы, то D(X+Y)=DX+DY.

Задача 4. Пусть случайная величина имеет следующий закон распределения

X	-1	0	2
P	1/4	1/4	1/2

Вычислить математическое ожидание MX, дисперсию DX и среднеквадратическое отклонение .

Решение. По определению математическое ожидание X равно

.

Далее, , а потому .

Среднеквадратическое отклонение .

Задача 5. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить .

Решение. Пользуемся формулой, указанной выше. А именно, в каждой клетке таблицы выполняем указанную операцию (т.е. умножение значений и ) и результат умножаем на вероятность в клетке, и все это суммируем по всем клеткам таблицы. В итоге получаем:

Ковариацией случайных величин X и Y называется число

cov(X,Y)=М(XY) - М(X)М(Y)

(в предположении существования конечных математических ожиданий).

Из определения ковариации вытекают следующие ее свойства:

1. Если X и Y - независимые случайные величины, то Обратное неверно. Если , то случайные величины X и Y называются некоррелированными. Из некоррелированности не вытекает независимости.

2. ;

3. ; ;

4. и

5. 

Задача 6. Для пары случайных величин из задачи 3 вычислить ковариацию cov(X,Y).

Решение. В предыдущей задаче уже вычислено математическое ожидание . Осталось вычислить и . Используя полученные в решении задачи 3 частные законы распределения, получаем

, и, значит,

.

Коэффициент корреляции двух случайных величин называется число:

.

Коэффициент корреляции определен в пределах .