§ 3. Примеры дискретных случайных величин

Распределение Бернулли (или биномиальное распределение) определяется как закон распределения случайной величины, равной числу успехов в n испытаниях Бернулли. Эта случайная величина X может принять любое из значений 0, 1, 2, …, n, а их вероятности определяются формулой Бернулли: если p – вероятность успеха, q – вероятность неудачи, то

,

Распределение Пуассона. Случайная величина, распределенная по закону Пуассона, может принять любое из значений 0, 1, 2, … (счетное множество значений), а их вероятности задаются формулой

, 0.

Геометрическое распределение имеет случайная величина X, равная числу испытаний Бернулли до первого «успеха» (включительно) с вероятностью «успеха» в одном испытании равном р. Такая случайная величина принимает значения X=1, 2, 3,…, а их вероятности задаются формулой:

Гипергеометрическое распределение определяется, например, в задаче о выборке деталей. Пусть имеется N деталей, из которых M – стандартные. Делается выборка из n деталей. Случайная величина X определяется как число стандартных деталей в такой выборке. Оно может равняться любому числу от 0 до n, но, конечно, не больше, чем М, т.е. m=0,1,2,…,min(n,M). Вероятности этих значений определяются гипергеометрической формулой

,

§ 4. Дискретный случайный вектор.

Пусть на одном и том же пространстве элементарных исходов  заданы две случайные величины X и Y, принимающие значения х_i (i = 1, 2,...) и у_j (j = 1, 2,...), соответственно. Упорядоченная пара (X,Y) называется случайным вектором или двумерной случайной величиной. Совместный закон распределения вероятностей дискретных величин X и Y задается вероятностями одновременного осуществления событий {X = х_i} и {Y = у_j}:

и представляется в виде таблицы

X \ Y	y1	y2	…	ym
x1			…
x2			…
…	…	…	…	…
xn			…

При этом .

Вероятность события типа {(X, Y)В} — «случайная точка (X,Y) попадает в заданную область В» — вычисляется по формуле

,

т.е. суммирование идет по всем возможным парам (х_i, y_j) значений случайных величин X,, для которых соответствующая точка (x_i y_j) входит в область В.

Частным законом распределения случайной величины X называется вероятность события {X = х_i}. Если задан совместный закон распределения, то частный закон распределения для X можно получить с помощью формулы:

.

Аналогично, частным законом распределения  называется вероятность события {Y = y_i}, которую также можно вычислить с помощью формулы:

.

Дискретные случайные величины X, Y называются независимыми, если их совместный закон распределения представляется в виде произведения их частных законов распределения:

для всех значений х_i и у_j,

то есть если независимы случайные события {X = х_i} и {Y = у_j}.

Задача 3. Совместный закон распределения случайных величин X и Y задан c помощью таблицы

X \ Y	1	2
-1	1/16	3/16
0	1/16	3/16
1	1/8	3/8

Вычислить частные законы распределения составляющих величин X и Y, определить, зависимы ли они?

Решение. Частное распределение для X получается суммированием вероятностей в строках:

;

;

.

Аналогично получается частное распределение для Y:

;

.

Полученные распределения можно записать в ту же таблицу напротив соответствующих значений случайных величин:

X \ Y	1	2
-1	1/16	3/16	¼
0	1/16	3/16	¼
1	1/8	3/8	½
	1/4	3/4

Теперь ответим на вопрос о независимости случайных величин X и Y. Для этого в каждой клетке совместного распределения вычислим произведение и сравним его со значением вероятности в этой клетке. Например, в клетке для значений X =-1 и Y=1 стоит вероятность 1/16, а произведение соответствующих частных вероятностей 1/4×1/4 равно 1/16, т.е. совпадает с совместной вероятностью. Это условие проверяется во всех оставшихся пяти клетках, и оно оказывается верным во всех этих клетках. Следовательно, случайные величин X и Y независимы.