2. Ощадливі Схеми Відновлення і Схеми Відновлення Голомбо

Зараз ми опишемо ощадливі схеми відновлення і схеми відновлення Голомбо. Ці схеми відновлення оптимальні для більшого ряду важливих випадків, але результати не роблять навантаження балансуючим, коли відбувається “обгорта по колу”.

Ми починаємо з визначення R₀, тобто списку відновлень для процесу нуль : r(x) = min{j є N₊} таке, що для усіх a1, a2, b1, b2, які виконують умови (1 ≤ a1 ≤ b1 ≤ x) і (1 ≤ a2 ≤ b2 ≤ x) і ((a1 ≠ a2) чи (b1 ≠ b2)) ми маємо .

Якщо , потім , інші R0(x) = min{j є N+ – {R0(1),…,R0(x− 1)}}. (n − ряд ідентичних комп'ютерів в кластері)

Усі інші списки відновлень виходять з R₀, користуючись Ri(R0(x) + i) mod n.

У визначенні R₀ ми користуємося вектор довжини кроку r. важлива властивість в ощадливsq схемs відновлення є, що усі суми послідовностей, є унікальний, тобто , коли (1 ≤ a1 ≤ b1 ≤ x) і (1 ≤ a2 ≤ b2 ≤ x) і ((a1 ≠a2) або (b1 ≠ b2)).

Від визначення вище ми бачимо, що для великих значень n (тобто n > 289), перші 16 елементів в R₀ для ощадливої схеми відновлення є: 1, 3, 7, 12, 20, 30, 44, 65, 80, 96, 122, 147, 181, 203, 251, 289. Для n = 16, R0= {1, 3, 7, 12, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15}.

У [6] ми довели, що ощадлива схема відновлення оптимальна, поки x комп'ютери чи менше вимкнулися, де x = max(i), таке, що R0(i)< m.

Окремий випадок ощадливої схеми відновлення − послідовність названа лінійкою Галом ба з n позначками, якиа визначається як послідовність додатніх цілих чисел 0 = d1< d2 <… <dn таких, що усі різниці dj – di, з i < j чіткі. Найкоротша лінійка Голомбо для цього ряду позначок є під назвою Оптимальна Лінійка Голомбо (OGRs). Від схеми відновлення Голомбо для кластера з j комп'ютерами виходить список відновлень Голомбо, який містить дві частини. Перша частина складається з оптимальної Лінійки Голомбо з сумою менше або дорівнює j і з другої частини заповненлї номерами, що залишилися, аж до j−1.

Нехай GR0_j є списком відновлень Голомбо для процесу нуль в кластері з j комп'ютерами. Це містить оптимальну лінійку Голомбо з сумою меншою ніж або рівною j і залишок − номери аж до j−1. Наприклад для процеса нуль в кластері з 12 комп'ютерів, які ми маємо: GR0, 12={1,4,9,11,2,3,5,6,7,8,10}. Усі інші списки відновлень виходять з GR0 j, використовуючи GRi, j(x) = (GR0, j(x) + i)mod(j + 1) для усіх i ≤ j.

Окремий випадок OGR − досконала лінійка Голомбо, яка існує, де там є точні відмінності (послідовні цілі числа від 1 до , з'являючись у будь−якому порядку).

Це означає, що немає ніякої "прогалини " в представленні трикутника. Галом ба взагалі. [1] доводять, що немає ніяких досконалих лінійок Голомбо, коли n > 4.

У формулюванні, яким можуть управляти циклічні переходи лінійки Голомбо, є проігноровано − ситуації, коли повне число стрибків для процесу більше, ніж число комп'ютерів в кластері. Наступне формулювання звертає на це увагу: Отримавши число (n) ми хочемо знайти щонайдовшу послідовність додатніх цілих чисел таке, що сума і суми усіх послідовностей (, у тому числі послідовності довжини один) модуль n унікальні.