4. Висновки

Вивантажуючи роботу і повторно запускаючи це на іншому процесорі, ми отримуємо швидше недорогі багатопроцесорні системи, як наприклад загальні мультипроцесори пам'яті. Це може, однак, бути дуже дорогим і трудомістким на інших багатопроцесорних і розподілених систем, і в тих випадках, ми хочемо обмежити число переривань. Відхід від усього виду

з пріоритетного переривання може, проте, призвести до неурівноваженого завантаження в мультипроцесорі, навіть при користуванні кращим можливим непріоритетним графіком. Тому, є вибір з альтернативних варіантів

між зменшенням числа пріоритетних переривань (і отже кількість накладних витрат) і збереженням завантаження розсудливого балансу між процесорами (чи комп'ютери) в системі.

Наші результати роблять можливим точне визначення кількості одного основного елементу в максимальній

Продуктивності та вигоді, збільшуючи число пріоритетних переривань. Результати легко обчислити також для масивно паралельного мультипроцесора, тобто, якщо м дуже великий.

5. Обговорення

Наші результати узагальнюють результати Braun і Schmidt [2]. Вони дивляться на вигоду максимальної продуктивності, представлення m–i–1 нових пріоритетних переривань в графіку з iпріоритетними переривання, працюючі на системі з м процесорами (комп'ютери). Ми надаємо основну формулу, яка обчислює максимальну вигоду представлення додаткових j пріоритетних переривань у графіку з i пріоритетними перериваннями, користуючись процесорами м. Наприклад, отримання максимальної користі, якщо ми представляємо одно додаткове пріоритетне переривання в графіку з одним пріоритетним перериванням користування м процесорами яке може бути вичислене.

(Рис.3 і 4) за відображають функцію G з i- проти j-переривань робочого інтервалу програми «найгіршого випадку» для м = 200 відповідного м = 400. Якщо i≥j значення з G тривіально дорівнює одному. Це може бачитися як низька плоска область в зображеннях. Для m≥i+j+1 ми можемо представити формулу як формулу з функціями (див. вище Лема 3), тому значення G постійне для усіх j з k(i + 1)≤j≤k(2(i + 1)– 1), k∈N . Це пояснює частину з зображень, що має форму трикутника/ плато . Наприклад, для м = 200 і i = 50 значення G = 1.333 для 50 ≤ j ≤ 98 . Те ж значення G складає для i = 10 і 10 ≤ j ≤ 18. Це означає, що вигода зі збільшення числа пріоритетних переривань з 50 до 55, або з 50 до 98, або навіть від 10 до 18 - те ж, припускаючи, що немає ніяких накладних витрат. Бо для m<i+j ми маємо формулу «дерева» Stern-Brocot: . Для j = m – 1 та i = 0, …, m – 2 крива представляє результати Braun і Schmidt [2]

Мал. 3 Функція G при m=200

Мал. 4 Функція G при m=400

6. Список літератури

1. Blazewicz, J., Ecker, K. H., Pesch, E., Schmidt, G., Weglarz, J., Scheduling Computer

and Manufacturing Processes, Springer Verlag, New York, NY 1996, (II ed.)

2001

2. Braun, O., Schmidt, G., Parallel Processor Scheduling with Limited Number of Preemptions,

Siam Journal of Computing, Vol. 32, No. 3, 2003, pp. 671-680

3. Coffman Jr., E. G., Garey, M. R., Proof of the 4/3 Conjecture for Preemptive vs.

Nonpreemptive Two-Processor Scheduling, Journal of the ACM, Vol. 40, No. 5,

November 1993, pp. 991-1018, ISSN:0004-5411

4. Dobrin, R., Fohler, G., Reducing the Number of Preemptions in Fixed Priority

Scheduling, in Proceedings of the 16th Euromicro International Conference on

Real-Time Systems, ECRTS 04, Catania, Sicily, Italy, June 2004

5. Garey, M. R. and Johnson, D. S., Computers and Intractability - A Guide to the Theory

of NP-Completeness, W. H. Freeman and Company, New York, 1979

6. Graham, R. L., Bounds for Certain Multiprocessing Anomalies, Bell System Technical

Journal, Vol. 45, No. 9, November 1966, pp.1563-1581

7. Graham, R. L., Bounds on Multiprocessing Timing Anomalies, SIAM Journal of

Applied Mathematics, Vol. 17, No. 2, 1969, pp. 416-429

8. Graham, R. L., Knuth, D., Patashnik, O., Concrete Mathematics, Addison-Wesley,

ISBN 0-201-14236-8, 1994

9. Karger, D., Stein, C., Wein, J., Scheduling Algorithms, in Handbook of Algorithms

and Theory of Computation, M. J. Atallah, editor. CRC Press, 1997

10. Lawler, E. G., Lenstra, J. K., Rinnooy Kan A. H. G., Shmoys, D. B., Sequencing

and Scheduling: Algorithms and Complexity, S.C. Graves et al., Eds., Handbooks in

Operations Research and Management Science, Vol. 4, Chapter 9, Elsevier, Amsterdam,

1993, Chapter 9, pp. 445-522

11. Lennerstad, L., Lundberg, L., Optimal Scheduling Combinatorics, Electronic

Notes in Discrete Mathematics, Vol. 14, Elsevier, May 2003

12. Lennerstad, H., Lundberg, L., Generalizations of the Floor and Ceiling Functions

Using the Stern-Brocot Tree, Research Report No. 2006:02, Blekinge Institute of

Technology, Karlskrona 2006

13. Liu, C. L., Optimal Scheduling on Multiprocessor Computing Systems, in Proceedings

of the 13th Annual Symposium on Switching and Automata Theory, IEEE

Computer Society, Los Alamitos, CA, 1972, pp. 155-160

14. McNaughton, R., Scheduling with Deadlines and Loss Functions. Management

Science, 6, 1959, pp. 1-12

15. Pinedo, M., Scheduling: Theory, Algorithms and Systems, (2nd Edition), Prentice

Hall; 2 edition, 2001, ISBN 0-13-028138-7