Методические указания для решения задач контрольной работы 2.
Задача 1. Вычислить площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах
Геометрический
смысл определенного интеграла от функции
заключается в том, что он численно равен
площади криволинейной трапеции,
ограниченной осью
,
прямыми
,
и графиком функции
,
т.е.
.
Если
плоская фигура ограничена прямыми
и графиками функций
,
причем для всех точек
на отрезке
,
то её площадь вычисляется по следующей
формуле:
.
Для вычисления площади необходимо:
а)
построить на плоскости
графики всех указанных функций;
б) выделить фигуру, ограниченную данными кривыми;
в)
спроектировать фигуру на одну из осей
или
(в зависимости от вида фигуры). Границы
получившегося отрезка
(
)
дадут нижний и верхний пределы
интегрирования;
г)
определить функцию
(
),
ограничивающую фигуру сверху и
(
)
– ограничивающую фигуру снизу;
д)
вычислить
или
.
П
ример .
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
,
,
.
Построим
графики указанных функций. Область,
ограниченная тремя кривыми, указана на
рис. 1. В данной задаче её целесообразно
спроектировать на ось
.
Поступив таким образом, получим нижний
предел интегрирования
,
верхний
.
Искомая площадь определяется интегралом:
Пример
.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
.
Построим графики данных функций (рис. 2). Для того, чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения кривых
Т
аким
образом, точки пересечения кривых
и
.
Спроектировать
полученную фигуру можно как на ось
,
так и на ось
.
При проектировании на ось
нижний предел интегрирования равен
,
а верхний
.
В этом случае сверху фигуру ограничивает
график функции
,
а снизу –
.
Тогда
Задача 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
,
. Найдем общее решение уравнения.
Разделив обе части уравнения на х,
приходим к линейному неоднородному
уравнению
.
Пусть
,
положим
или
,
откуда
.
Проинтегрировав, найдем какое либо
решение этого уравнения, например при
С=0,
и
Подставив
найденное
в уравнение (*) , получим
.
Решая это уравнение с разделяющимися
переменными , получим
.
Тогда окончательно имеем
.
Это общее решение исходного дифференциального
уравнения. Найдем частное решение,
удовлетворяющее начальным условиям.
Подставив в общее решение
у=0,
х=1,
,
отсюда С=-1. Тогда частное решение,
удовлетворяющее данным начальным
условиям будет
.
Список литературы
Основная литература
Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов / под. ред.проф. Н.Ш.Кремера.2007г. 479с.
Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике.1 курс /К.Н. Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко.- 8-е изд..-М. :Айрис пресс, 2010.-576с.
Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике.2 курс /К.Н. Лунгу, Д.Т.Письменный, С.Н.Федин, Ю.А.Шевченко.- 8-е изд..-М.:Айрис пресс, 2011.-592с.
Дополнительная литература
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике : (в 2 ч.) ч.1.10изд.-М.: Айрис-пресс, 2010.-288с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике : (в 2 ч.) ч.2.10изд.-М.: Айрис-пресс, 2011.-256с.
Макаров. Математика для экономистов: электронный учебник/ С.И.Макаров.- Москва.: Кнорус, 2009.
Справочник по математике для экономистов: Учебное пособие / под ред.проф. В.И.Ермакова, М.: Инфра -М, 2009.- 464с.
Щипачев В.С. Высшая математика .Учебник для вузов.-5-е изд. ,-М.: Высшая школа.2001.-479с.
Интернет-ресурсы.
www.chtivo.ru
www.prosto-tak.ru/i
www.nk1.ru
www.ismart.ru
www.bookroom.ru
www.lib.ua-ru