Правило нахождения экстремума.

_{1. Продифференцировать функцию.}

_{2. Найти точки, в которых производная обращается в 0: в этих точках возможен экстремум.}

_{3. Выяснить знак производной в окрестности критической точки:}

_{если слева от точки производная положительна, а справа отрицательна, то функция в этой точке имеет максимум (рис. 7);если слева от точки производная функции отрицательна, а справа положительна, то функция в этой точке имеет минимум (рис. 8).}

_{Если справа и слева от точки функция имеет один и тот же знак, то функция в этой точке экстремума не имеет.}

_{Y Y}

_f´(x)=0

_{f´(x)>0 f´(x)<0}

_{f´(x) <0}

_f´(x)>0

_f´(x)=0

_{0 X 0 X}

_{Рис. 7 Рис. 8}

_{Правило поясняется таблицей 1(здесь х1 < х0< х2}).

(x0)	(x1)	(x2)	f(x0)
0	+	–	max
0	–	+	min
0	+	+	extr нет
0	–	–	extr нет

Пример. Исследовать на экстремум функцию y=2x³ – 3x².

Решение. Дифференцируем функцию: = 6x² – 6x. Находим точки, в которых производная обращается в 0,т.е. находим корни уравнения 6x² – 6x = 0,

6x ( x – 1) = 0, х₁ = 0, х₂ = 1_.

_{Экстремум возможен только в этих точках. Находим знак производной слева и справа от точки х1= 0:}

(–1) = 6·(–1) ² – 6·(–1) = 12 > 0,

( ) = 6·( ) ² – 6· = – < 0.

_{В точке х1 = 0 функция y = 2x}³ _{– 3x}² _{имеет максимум.}

_{Находим знак производной слева и справа от точки х2 = 1:}

( ) = – < 0,

(2) = 6·2² – 6·2 = 12 > 0.

В точке x₂ = 1 функция имеет минимум.

Т. к. в точке экстремума функция переходит от возрастания к убыванию и наоборот, то можно указать интервалы возрастания и убывания функции: на интервале (– ;0) функция возрастает, на интервале (0,1) – убывает, на интервале (1,+ ) – возрастает.

Задания. Исследовать следующие функции на возрастание, убывание и точки экстремума:

у ( х) = 3х² + 5; у( х) = 1 – 7х²; у( х) = – – 2х;

у(х) = ; у(х) = ; у(х) = х – ; у(х) = х ·e^-x; у(х) = x + e^x;

у(х) = + ; у( х) = х ln x.

Исследование кривых на выпуклость и перегиб.

Определение 1.

Функцию у = f(x) называют выпуклой на промежутке I=[a,b], если

f((1 – λ)·x₁ + λ·x₂ ) < (1 – λ)·f(x₁) + λ·f(x₂)

для всех λ (0,1) и всех x₁ , x₂ I таких, что x₁ < x₂ .

Выпуклость функции имеет простой геометрический смысл:

функция у = f(x), заданная на промежутке I, выпукла тогда и только тогда, когда всякая дуга её графика лежит над стягивающей её хордой (рис. 9).

Определение 2. Функцию у = f(x) называют вогнутой на промежутке I, если функция – f(x) выпукла на I.

Сравнивая с определением 1, видим, что функция у = f(x) вогнута на промежутке I тогда и только тогда, когда для всех λ (0,1) и всех x₁ , x₂ I таких, что x₁ < x₂ , выполняется неравенство

f((1 – λ)·x₁ + λ·x₂ ) > (1 – λ)· f(x₁) + λ· f(x₂).

Вогнутость функции у = f(x) на промежутке I означает, что всякая дуга её графика лежит под хордой, стягивающей эту дугу (рис. 10).

Y Y

O x₁ x₂ X O x₁ x₂ X

Рис. 9 Рис. 10