Экстремумы функции.
На
рис.4 изображена непрерывная функция
у = f(x)
(а
x
b), которую будем
предполагать непрерывной на отрезке
[a,b]
и дифференцируемой на интервале (a,b).
На отрезке [a,b] рассмотрим 2 точки х1 и b. Именно ордината f(x1), соответствующая точке х1 , является наибольшей среди ординат f(x), соответствующих любым точкам x отрезка [a,b], а ордината f(b) является наименьшей среди указанных f(x).
Введём определения. Точка х0 отрезка [a,b] называется точкой максимума (max) функции у = f(x) на этом отрезке, если f(x0) есть наибольшее среди значений f(x), соответствующих любому x из отрезка [a,b]: f(x0) f(x),
а x b.
Точка х0 отрезка [a,b] называется точкой минимума (min) функции у = f(x) на этом отрезке, если f(x0) есть наименьшее среди значений f(x), соответствующих любому x из отрезка [a,b]: f(x0) f(x), а x b.
Точки максимума и минимума функции у = f(x) называются точками экстремума (extr) на отрезке [a,b].
На рис. 4 отмечены ещё две точки: х2 и х3 .Точка х3 не является точкой максимума на отрезке [a,b]. Однако можно указать её окрестность
(х3
-
,
х3 +
),
настолько малую, что на ней х3
есть точка максимума функции у =
f(x).
Такую точку называют точкой локального
максимума функции
у = f(x).
Аналогично, для точки х2 можно указать её окрестность
(х2 – , х2 + ) настолько малую, что на ней х2 есть точка минимума функции у=f(x). Такую точку называют точкой локального минимума функции
у = f(x). На рис.4 мы видим, что х2 – точкa локального минимума f(x), а х1, х3 – точки локального максимума функции у = f(x). При этом х1 , кроме того, есть точка max на отрезке [a,b]. Точки локального максимума и минимума f(x) называются точками локального экстремума.
Y
O a x1 x2 x3 b X
Рис.4
Установим теперь признак, дающий необходимое условие того, чтобы данная точка являлась точкой локального экстремума.
Необходимый признак экстремума.
Если в точке х0 функции у = f(x) достигает локального экстремума, то её производная в этой точке равна 0 (этот признак является следствием теоремы Ферма).
С геометрической точки зрения это означает, что касательная к графику функции в точке локального экстремума параллельна оси ОХ (рис.5).
Y
max
min
0 X
Рис.5
Замечание. Функция может иметь экстремум и в тех точках, в которых она недифференцируема.
Пример.
у =
.
В точке х = 0 производная функции не
существует , однако х = 0 является
точкой минимума (рис.6).
Рис.6
Необходимый признак экстремума не является достаточным, т. е. из того, что производная в данной точке обращается в 0, ещё не следует, что эта точка обязательно будет точкой локального экстремума.
Пример. Производная функции у=х3 в точке х0 = 0 равна 0:
= 3х2, (0) = 0.
Однако, точка х0 не является точкой экстремума, т.к. справа от неё значения функции отрицательны, а слева положительны.
Теорема (достаточный признак экстремума).
Пусть функция у = f(x) непрерывна и некоторой окрестности точки х0 и имеет в ней производную всюду, кроме, быть может, самой точки х0. Тогда: если слева от точки х0 производная функции положительна, а справа отрицательна, то х0 есть точка локального max функции у = f(x);
если справа от точки х0 производная функции отрицательна, а слева положительна, то х0 есть точка локального min функции у = f(x).
Если при переходе через точку х0 производная знака не меняет, то экстремума в этой точке не будет.
Укажем последовательность действий для отыскания точек экстремума и интервалов монотонности функции. Пусть функция у = f(x) в заданном интервале (конечном или бесконечном) непрерывна и имеет производную всюду, за исключением, быть может, отдельных точек. Будем для простоты считать, что если эти отдельные точки исключить, то в оставшихся интервалах производная тоже непрерывна.