.	УПРАВЛЕНИЯ, ЭКОНОМИКИ И СОЦИОЛОГИИ

Утверждаю:

Проректор КИУЭС по учебной работе

В. В. Котрин

«______»___________________ 2008 г.

Кафедра математики и

естественнонаучных дисциплин

Сидоренкова и.В. Приложения производной к исследованию функций и построение графиков

Учебное пособие

Королев, 2008

Сидоренкова И.В. Приложения производной к исследованию функций и построение графиков. – Королев: КИУЭС, 2008, 18 с.

Рецензент: д. ф. – м. н., профессор Борисов В. Ф.

Учебное пособие предназначено для проведения практических занятий и для самостоятельной работы студентов по курсу Математический анализ, раздел “Применение производных к построению графиков функций”. Содержание раздела соответствует требованиям Государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования и Учебным планам КИУЭС для всех специальностей.

РЕКОМЕНДОВАНО Учебно-методическим советом КИУЭС Протокол № 8 от 15.05.2007 г.

Учебное пособие рассмотрено и одобрено на заседании кафедры математики. Протокол № 7 от 4.4.2007 г.

Зав. кафедрой математики д. ф. – м. н., профессор Борисов В.Ф.

Введение.

Изучение количественной стороны различных явлений природы приводит к установлению и изучению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Если такую зависимость можно выразить аналитически, т. е. в виде одной или нескольких формул, то мы получаем возможность исследовать эту функциональную зависимость средствами математического анализа. Нашей целью является установление общих приёмов исследования поведения функций. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций опирается на весьма простую связь, существующую между поведением функции и свойствами её производных, прежде всего её первой производной.

Возрастание и убывание функций.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]. Если для любых x1, x2 [a, b] таких, что x1 < x2 f(x1) < f(x2) (меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции), то функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a,b] (рис. 1).

Аналогично, функция f(x) называется убывающей на отрезке [a,b], если для любых x1, x2 [a, b] таких, что x1 < x2 f(x1) > f(x2) (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции) (рис. 2).

f(x2) f(x1)

f(x1) f(x2)

0 a x1 x2 b 0 a x1 x2 b

Рис. 1 Рис. 2

Как интервал возрастания, так и интервал убывания функции называют интервалами монотонности функции, а функцию на этом интервале – монотонной функцией.

Обычно интервал, на котором рассматривается функция, можно разбить на ряд интервалов, в каждом из которых функция монотонна (см. рис. 3).

Y

x1 x2 x3 X

Рис. 3

Теорема (достаточный признак монотонности).

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема во всех его внутренних точках. Тогда если > 0 для всех x (a,b) , то функция f(x) возрастает на [a,b]. Если < 0 для всех x (a,b), то функция f(x) убывает на [a,b].

Доказательство основано на формуле конечных приращений Лагранжа. В самом деле, согласно формуле Лагранжа, для любых x1, x2 (a,b) таких, что x1 < x2 имеем f(x2)  f(x1) = (x2 – x1), x1 < ξ < x2. Т. к. x1 < x2, то x2 – x1 > 0 и знак разности f(x2)f(x1) полностью определяется знаком производной . Если >0, то f(x2)  f(x1) > 0 и f(x2) >f(x1), т. е. функция f(x) возрастает на [a,b].

Аналогично доказывается: если < 0 для всех x (a,b) , то функция f(x) убывает на [a,b] .

Эта теорема даёт нам простой и удобный признак монотонности функции на интервале.

Пример. Исследовать функцию y=(х – 3) на убывание и возрастание.

Решение. Находим производную для х 0:

+(x – 3) = .

При х = 1 имеем = 0. Если х (0,1), то < 0 на этом интервале функция у(х) убывает; если х (1, ), то > 0 на интервале (1, ) функция у(х) возрастает.

Задание. Исследовать на возрастание и убывание следующие функции:

y = ; y = x – y =