Вопрос 15.

Потенциальные и вихревые движения. Рассмотрим поле скоро­стей жидкости в фикси­рованный момент времени. Выделим в жидко­сти произ­вольный замкнутый контур L и на нем установим поло­жительное на­правление обхода (рис. 14). 

Интеграл называется цирку­ляцией вектора скоро­сти по контуру L. Если Г по любому замкнутому контуру обращается в ноль, то движение жидкости называется потенци­альным, если - вихревым.

Рис. 15. Плоское те­чение жидкости

Всякое течение идеальной жидкости, воз­никшее из состояния по­коя под действием консер­вативных сил, является потенциальным, напри­мер: тече­ние жидкости вдоль параллель­ных прямых ли­ний с постоянной скоро­стью.

Примером вихревого движения может слу­жить плоское течение жид­ко­сти, когда час­тицы по­следней вращаются по концентри­ческим окружно­стям с одной и той же угловой скоро­стью (рис. 15). В этом случае для окружности с r: , или .

Отношение к площади контура:  не зависит от r. Предел называют моду­лем вихря или ротора скорости , или, точнее про­екцией вектора ро­тора на направление, перпендикуляр­ное к плоскости кон­тура: , где n - индекс нормали.

Вопрос 16.

Теорема Жуковского. Движение жидкости относительно тела. Тело в виде крыла или сово­купности крыльев.

Условия:

а) Длина крыла бесконечно большая.

б) Крыло несиммет­рично или несимметрично расположено отно­си­тельно горизонтальной плоскости в которой оно движется.

в) Крыло движется в идеальной жидкости (безвязкостной).

г) Вокруг крыла установилась циркуляция скорости постоянной вели­чины.

д) Невозмущенный поток горизонтален, т.е. в системе отсчета, в кото­рой крыло неподвижно, движение жидкости потенциально, но с цир­куля­цией.

Пусть Х направлена вдоль потока, ось Y - нормально потоку (рис. 16). Проведем прямоугольный контур ABCD, горизонтальные стороны ко­торого проходят посередине между соседними крыль­ями. За время dt жид­кость из ABCD перемес­тится в объем A’B’C’D’. Вертикальная ско­рость - обуслов­лена циркуляцией. Искомое приращение импульса d найдется, если из им­пульса в объ­еме CC’DD’ вычесть им­пульс в объ­еме AA’B’B. Каждый из этих объемов равен: , где l = AB = CD, ско­рость невозму­щен­ного течения постоянна, а верти­кальные скорости вдоль АВ и СД равны по модулю. Поэтому прираще­ние получает только вертикальная со­ставляющая импульса и оно равно: . Но и есть цир­куляция скорости по кон­туру ABCD. Тогда: .

Рис. 16. К выводу формулы Жуковского-Кутта

Применяя второй закон Ньютона, получаем формулу Жуковского-Кутта .

Подъемная сила. Для возникновения подъемной силы необхо­димо, что бы крыло было не­симметрично или несимметрично распо­ложено от­носительно горизон­таль­ной плоскости, в которой оно дви­жется. Такая не­симметрия формирует локальные обратные течения, ко­торые вырождаются в вихри.

Допустим, что в результате отрыва какая-то малая масса воздуха, ра­нее находившаяся в погранич­ном слое снизу от крыла, унесена пото­ком в виде одного или нескольких вихрей. Обладая враще­нием, эта масса унесет и связанный с ней момент им­пульса. Но общий момент им­пульса воздуха не может измениться. Если от­рыв пограничного слоя сверху от крыла не про­изошел, то для сохранения момента импульса воздух во внешнем по­токе должен начать вращаться во­круг крыла по часовой стрелке. Иными сло­вами, во внешнем потоке вокруг крыла должна возникнуть циркуляция скорости воздуха по часовой стрелке, накладывающаяся на основной по­ток. Скорость потока под крылом умень­шится, а над ним - увеличится. К внешнему потоку применимо уравнение Бернулли. Из него следует, что в результате циркуляции дав­ление под кры­лом возрастет, а над ним - уменьшится. Возникшая раз­ность давлений про­является в подъемной силе, направленной вверх. На­оборот, если унесен­ные вихри образовались из частиц пограничного слоя сверху крыла, то возникнет циркуляция против часовой стрелки, а "подъемная" сила будет направлена вниз. Теперь ясно, что подъемная сила крыла самолета создается не от уда­ров частичек воз­духа о наклон­ную поверхность крыла, преграждающую путь воздуху, а благодаря раз­личию в скоростях воздушного течения под и над крылом.

Рис. 17. Тонкая пластинка в потоке идеальной жидкости

Для пояснения вышесказанного рассмотрим тонкую пластинку, по­став­лен­ную на пути потока идеальной жидкости. Если пластинка ори­енти­ро­вана вдоль потока, то критические точки, в которых скорость жидкости обраща­ется в нуль, на­ходятся на краях А и В (рис. 17, а). Если пла­стинка по­став­лена перпен­дикулярно к потоку, то обе критические точки смеща­ются к центру пла­стинки, а скорость течения достигает мак­симума на краях пла­стинки А и В (рис. 17, б). Если же пластинка по­ставлена на­клонно к потоку (рис. 17, в), то критические точки Р, зани­мают промежу­точ­ные положения между центром пластинки и ее краями. Скорость тече­ния по-прежнему максимальна на краях пластинки. В ок­рестности крити­ческой точки Р₁ она больше снизу, чем сверху, так как нижний поток рас­положен значительно ближе к краю В пла­стинки, чем верхний к краю А. Такая же картина тече­ния образуется в на­чальный момент и при течении вязкой жидкости.

Рис. 18. Профиль крыла в потоке воздуха

В случае крыла самолета по­ток воздуха под крылом в начале дви­же­ния оги­бает заднюю кромку крыла и встречается вдоль линии РD с пото­ком, огибающим крыло сверху. Здесь образуется по­верхность разде­ла, свертывающаяся затем в вихрь, причем вращение проис­ходит против ча­совой стрелки (рис. 18, а, б). Вихри уносят момент импульса, а вокруг крыла образуется циркуляция по часовой стрелке.

Итак, цир­куляционное те­чение вокруг про­филя крыла образуется как реакция на “начальный вихрь”, который отде­ляется от задней кромки крыла в начало движения и относится те­чением. Таким обра­зом вихри возникают парами - равные по интенсив­ности, но с противопо­ложными направлениями вращения.