Вопрос 9.

Связь между потенциальной энергией и силой. Взаимодействие тел можно описать либо с помощью сил, либо с помощью потенциаль­ной энер­гии как функции координат взаимодействующих частиц. В макроско­пиче­ской механике применимы оба способа. Первый обладает большей обла­стью, т.к. он применим к таким силам (сила трения), для которых нельзя ввести по­тенциальную энергию. Второй - применим только в случае кон­сервативных сил. (В микромире квантовой механики диссипативных сил нет и в ней применяется только второй способ.)

Рассмотрим материальную точку, находящуюся в силовом поле не­подвижных тел. Если силы консервативные, то можно ввести потен­циаль­ную энергию, которой обладает материальная точка в рас­сматривае­мом си­ловом поле. Величина U будет функцией этой точки или ее коорди­нат x, y, z. Пусть точка претерпела произвольное б/м пере­мещение под дейст­вием силы . Работа силы при таком перемеще­нии будет равной убыли потен­циальной энергии: или F_xdx + F_ydy + F_zdz = - dU (полный дифференциал).

Если координатные оси выбраны так, что одна из них (X) совпа­дает с перемещением , то F_xdx = - (dU)_y,z. Индексы y, z означают, что при диффе­ренцировании они должны быть постоянными.

Величины, получающиеся в результате точного дифференцирова­ния, на­зываются частными производными функции U и обозначаются:

.

Эти три формулы можно объединить в одну и записать:

= - gradU, (13)

где - единичные векторы осей.

Чаще применяется другая формула записи: , где - “на­бла”) на­зывается оператором Гамиль­тона: .

Рис. 10. К определению понятия гра­диента скалярной величины U

Полезно пред­ставить это графически (рис. 10). Предста­вим себе не­кую поверхность как геометри­ческое ме­сто точек с оди­наковой потенци­альной энергией. Ясно, что одну из коор­динат­ных осей можно совмес­тить с , то­гда , а вектор силы будет направлен в противо­положную сторону.

Итак, потенциальная энергия вы­полняет роль потенциала в поле цен­тральных сил.

Вопрос 10.

Основные уравнения равновесия и движения жидкостей. Силы, дей­ствующие в сплошной среде обычно разделяют на силы мас­совые (объ­ем­ные) и силы поверхностные. Массовая сила ~dm (и dV) и обозначается , где - объемная плотность массовых сил. Напри­мер, объемная плот­ность массовых сил в поле тяжести: .

Поверхностные силы - силы, которым подвергается каждый объем жид­кости благодаря нормальным и касательным напряжениям, дейст­вую­щим на его поверхности со стороны окружающих частей жидкости. Для идеальной жидкости введем понятие: (гради­ент ска­ляра р). Это справедливо, если поле давлений определяется консерва­тивным полем сил. Добавим условие гидростатики: жидкость покоится. В состоянии равновесия действие внешней силы в единице объема уравно­вешивается массовой силой . Получаем основное уравне­ние гидроста­тики (равновесия): , или . (14)

Правая часть показывает, что равнодействующая сила равна нулю.

Итак, при равновесии элементарного объема плотность силы оп­ре­деля­ется операцией градиент над однозначной скалярной функцией. А это есть необходимое и достаточное условие того, чтобы была бы объем­ной плотно­стью консервативной силы.

В случае движения идеальной жидкости со скоростью :

, (15)

получаем основное уравнение гидродинамики (уравнение Эйлера).

Гидростатика несжимаемой жидкости. В случае отсутствия мас­со­вых сил, когда , получаем . Значит, если нет мас­со­вых сил, то при равновесии давления во всех точках одинаковы. В против­ном случае возникает движение жидкости (закон Паскаля (1623 - 1662г.)).

Следствие. При отсутствии массовых сил, одинаковое давление на по­верхности жидкости возбуждает такое же давление во всех точках внутри жидкости.

Пример. Пусть жидкость находится в поле тяжести: . Напра­вим ось Z вертикально вверх. В этом случае основные уравнения равнове­сия (14) примут вид ; . (16)

Пусть для малых значений z величина g не меняется. Пусть плот­ность жидкости неизменна и жидкость однородна. Интегрируя уравне­ние (16), по­лучим: , где р₀ – давление жидкости на высоте z = 0. Эта фор­мула определяет также давление жидкости на дне и стенках сосуда, а также на поверхности всякого тела, погруженного в жидкость.