Вопрос 4.

Уравнение моментов. Моментом силы, действующей на матери­аль­ную точку, относительно точки 0 (рис. 7), называется вектор

, (7)

где - равнодействующий вектор всех сил.

Моментом импульса материальной точки относительно точки 0 назы­вается вектор . (8)

Продифференцируем равенство (8):

. (9)

Рис. 7. К определению мо­мента силы

Так как а , то и и уравнение (9) превраща­ется в уравнение мо­ментов . (10)

Для системы материальных точек:

,

где , - внешняя сила, действующая на i-тую точку из их совокупности; - внутренняя сила, действующая на точку в резуль­тате взаимодействия с другими точками.

Исходя из третьего закона Ньютона, из всей суммы внутренних сил все­гда найдутся взаимнокомпенсирующие пары, т.е. . По­этому сила, действующая на систему материальных точек есть сумма внешних сил, а мо­мент внешних сил .

Вопрос 5.

Вращение тела вокруг неподвижной оси. Пусть есть твердое тело с не­подвижной осью вра­щения (рис. 8). Для i - той материальной частицы: .

Так как , то модуль .

Очевидно, что для всех частиц твердого тела ( ) < 90 ⁰. По­этому проек­ции их на ось имеют одинаковые знаки. Итак, так как:

Рис. 8. Вращение твер­дого тела вокруг непод­вижной оси

Проецируем по всем i-тым частицам:

,

где величина , как сумма произведе­ний элементар­ных масс на квадраты их рас­стояний от некоторой оси, называется момен­том инерции тела относительно данной оси. Фор­мула по информативности анало­гична формуле .

Уравнение моментов, как основное урав­не­ние динамики вращатель­ного движения, мо­жет быть за­писано в виде: .

Для тел с постоянной осью вращения и не­измен­ным распределением масс около этой оси:

. (11)

Теорема Штейнера. Зная момент инерции I₀ тела относительно неко­то­рой оси, проходящей через центр масс, можно легко вычислить мо­мент инер­ции относительно любой другой параллельной оси: , где - крат­чайшее расстояние между этими осями.

Ясно, что момент инерции I₀ является минимальным.

Вопрос 6. Законы сохранения

Законы сохранения отвечают на вопрос: что в последова­тельно­сти физических ситуаций, описываемой уравнениями движения, остается неиз­менным. Эти законы обусловлены фундаменталь­ными свой­ствами про­странства и времени – однородностью, изотропно­стью простран­ства и од­нородностью времени, поэтому выходят далеко за рамки меха­ники.

Однородность времени. Однородность времени есть одинаковость раз­ви­тия и изменение данной физической ситуации независима от того, в ка­кой момент времени эта ситуация сложилась.

Однородность пространства. Однородность пространства - свой­ство не­изменности характеристик пространства при переходе от одной его точки к другой. Это означает, что если имеется некоторая изолиро­ванная физическая система, то развитие событий в ней не зависит от того в точках какой области пространства эта система локализована.

Изотропность пространства. Изотропность пространства - экви­ва­лент­ность различных направлений в пространстве, т.е. если имеется неко­торая изолированная физическая система, то развитие событий в ней не зависит от того, как она ориентирована в пространстве.

Закон сохранения импульса. Система материальных точек или ма­те­ри­альная точка называется изолированной, если отсутствуют внеш­ние силы. Для таких систем: и уравнение движения: или const, или, в проекциях на оси координат: const, const, const. Импульс изоли­рованной системы не изменяется при любых про­цессах, происходящих внутри системы: для материальной точки - в от­сутствии внешних сил (она движется с постоянной скоростью по пря­мой линии); для системы матери­альных точек - ее центр масс при этом дви­жется равно­мерно и прямоли­нейно.

Закон сохранения момента импульса. Для изолированной сис­темы и , откуда const, или в проекциях: L_x = const, L_y = const, L_z = const. Момент импульса изолированной системы не изменя­ется при лю­бых процессах, происходящих внутри системы.

Замечание. Закон сохранения и можно применять не только к изо­ли­ро­ванным системам, но и к частично изолированным, т.к. часто встречаются случаи, когда только одна или две проекции рассматривае­мых векторов ( или ) постоянны. Тогда говорят, что система изолиро­вана от­носительно ука­занной проекции век­тора.