1.5. Погрешности произведения и частного приближенных чисел

Формулы для оценки абсолютной погрешности произведения и частного является более сложными, чем для суммы и разности. Поэтому для частного и произведения абсолютные погрешности обычно определяют, используя известную формулу

Δa = δa A или Δa = δa a ,

для a = x1x2...xn или a = x1/x2, где относительная погрешность произведения приближенных чисел определяется следующим образом:

δ(x1x2 ...xn ) ≤ δx1 + δx2 + ... + δxn .

Формула показывает, что относительные погрешности нескольких приближенных чисел складываются при выполнении операции умножения над этими числами.

Для предельной относительной погрешности формула имеет вид:

δ(x1x2...xn ) = δx1 + δx2 + ... + δxn

Аналогичным образом можно получить оценки погрешности частного двух приближенных чисел:

1 2

2

1 x x

x

x ≤ δ + δ ⎟

⎟⎠ ⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

δ ; 1 2

2

1 x x

x

x = δ + δ ⎟

⎟⎠

⎞

⎜ ⎜⎝

⎛

δ

1.6. Погрешность функции

Основная задача теории погрешностей заключается в следующем: по известным значениям погрешностей исходных данных определить погрешность некоторой функции от этих величин.

Пусть задана функция f(x), значение которой требуется вычислить для приближенного значения аргумента x0 ≈ X 0 , имеющего известную предельную абсолютную погрешность Δx0 . Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то погрешность ее значения в этой точке можно оценить как

Δ f (x0 ) ≈ f ′(x0 ) Δx0 .

Считается, что формула справедлива, если относительные ошибки аргумента и результата малы по сравнению с единицей, т.е.

δx0 << 1 и δf(x0) << 1.

Нетрудно заметить, что вычисление функции в точке с большим модулем производной может привести к значительному увеличению погрешности результата по сравнению с погрешностью аргумента (катастрофическая потеря точности).

1.7. Погрешность функции нескольких переменных

Пусть y = f(x1, x2, …, xn) – приближенное значение функции от приближенных аргументов x1 ≈ X1, x2 ≈ X2 , …, x n ≈ X n , которые имеют абсолютные ошибки Δx1 , Δx2 , …, Δx n .

Для определения Δy используют принцип наложения ошибок, согласно которому учитывают влияние погрешностей каждого из аргументов в отдельности, а затем полученные погрешности суммируют. Для этого вначале временно предполагают, что все аргументы, кроме x1 являются точными числами, и находится соответствующая частная ошибка, вносимая только погрешностью этого аргумента Δx1 :

1 1 ( 1, 2 ,..., ) ( 1, 2 ,..., ) 1 1 Δ y = Δ f x x xn = f x′ x x xn Δx ,

где производная определяется по x1. Затем вычисляется частная ошибка, вносимая аргументом Δx2 :

2 2 ( 1, 2 ,..., ) ( 1, 2 ,..., ) 2 2 Δ y = Δ f x x xn = fx′ x x xn Δx .

В итоге искомая погрешность функции Δy , определяется суммой всех частных ошибок:

Δ = Δ ≈ Σ ′ Δ

=

n

i

y f x x xn f x x x xn xi i 1

( 1, 2 ,..., ) ( 1, 2 ,..., ) .

Условиями применимости этой формулы считается выполнение следующих неравенств:

δxi << 1 (i = 1,n ); δ f(x1, x2, …, xn) << 1.

1.8. Обратная задача теории погрешностей

Обратная задача теории погрешностей заключается в определении погрешностей исходных данных по заданной погрешности результата. С использованием понятия функции нескольких переменных эта задача формулируются следующим образом: определить предельные погрешности аргументов функции, чтобы погрешность функции в целом не превышала бы заданной величины.

Эта задача является математически неопределенной, так как одна и та же погрешность результата может быть получена при разных погрешностях исходных данных. В простейшем случае для решения этой задачи используют принцип равных влияний, согласно которому в формуле для определения предельной абсолютной погрешности функции нескольких аргументов вида

Δ __________≈ Σ ′ Δ

=

n

i

f x x xn f x x x xn xi i 1

( 1, 2 ,..., ) ( 1, 2 ,..., ) .

все слагаемые из правой части принимаются равными:

f x1 (x1, x2 ,..., xn ) x1 fx2 (x1, x2 ,..., xn ) x2 ... fx (x1, x2 ,..., xn ) xn . n

′ Δ = ′ Δ = = ′ Δ

Отсюда значения предельных абсолютных погрешностей аргументов определяются следующим образом:

⋅

′

Δ

Δ =

( , ,..., )

( , ,..., )

1 2

1 2

x n

n

i n f x x x

x f x x x

i

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить виды и источники возникновения погрешностей при организации вычислений на ЭВМ, а также способы их вычисления и оценки.

2. Получить задание на выполнение работы у преподавателя.

3. По исходным данным (табл. 1) составить программу на языке высокого уровня, моделирующую запись числовых данных в память для ограниченной разрядной сетки ЭВМ (на примере десятичной системы счисления). Оценить с ее помощью погрешности представления в ЭВМ заданных чисел.

Замечание: В табл. 1 параметр k задает число разрядов, доступных для записи числа в память.

4. По исходным данным (табл. 2, 3) составить программу на языке высокого уровня, выполняющую вычисления трех заданных выражений. Оценить с ее помощью погрешности результатов, считая, что для представления исходных данных и результатов в памяти ЭВМ выделено ограниченное число разрядов k. Если значение абсолютной погрешности не задано (табл. 3), считать, что соответствующее число взято со всеми верными цифрами.

5. Составить программу на языке высокого уровня, выполняющую вычисление значения функции (табл. 4) по приближенным исходным данным (табл. 5). Оценить с ее помощью погрешность результата, считая, что для представления исходных данных и результатов в памяти ЭВМ выделено ограниченное число разрядов k. Если значение абсолютной погрешности не задано (табл.5), считать, что соответствующее число взято со всеми верными цифрами. Вычисление производной функции выполнить в системе MathCAD.

6. По исходным данным (табл. 6) составить программу на языке высокого

уровня, выполняющую вычисление допустимых погрешностей аргументов при

известном значении погрешности функции f (x, y, z) = xy + yz + xz .

Замечание: Погрешность функции в явном виде не задана, а известно

требуемое количество верных цифр в представлении результата. При этом для

записи исходных данных и результатов в память ЭВМ выделено ограниченное

число разрядов k.

Задание №1

По исходным данным (табл. 1) составить программу на языке высокого уровня, моделирующую запись числовых данных в память для ограниченной разрядной сетки ЭВМ (на примере десятичной системы счисления). Оценить с ее помощью погрешности представления в ЭВМ заданных чисел.

Вычисления «вручную» (см.алгоритм №1 и формулы 1,2):

Вычисления на Mathcad

Для первого числа

Для второго числа

Для третьего числа

Задание №2

По исходным данным (табл. 2, 3) составить программу на языке высокого уровня, выполняющую вычисления трех заданных выражений. Оценить с ее помощью погрешности результатов, считая, что для представления исходных данных и результатов в памяти ЭВМ выделено ограниченное число разрядов k.

Для нахождения абсолютной погрешности суммы или разности (формула 3) найдем абсолютные погрешности каждого числа и сложим их. Для нахождения относительной погрешности суммы или разности (формула (4)) найдем абсолютную погрешность суммы и разделим её на модуль суммы или разности чисел.

Для нахождения абсолютной погрешности произведения (разности) найдем относительные погрешности каждого числа, а затем сложим их по формуле (5)

Вычисления на Mathcad

Выражение 1

Выражение 3

Выражение 2

Задание №3

Составить программу на языке высокого уровня, выполняющую вычисление значения функции (табл. 4) по приближенным исходным данным (табл. 5). Оценить с ее помощью погрешность результата, считая, что для представления исходных данных и результатов в памяти ЭВМ выделено ограниченное число разрядов k. Если значение абсолютной погрешности не задано (табл.5), считать, что соответствующее число взято со всеми верными цифрами. Вычисление производной функции выполнить в системе MathCAD.

Для нахождения погрешности ФНП необходимо:

1) Найти частные ошибки переменных по формуле (7)

2) Найти сумму частных ошибок

Вычисления на Mathcad

Задание №4

По исходным данным (табл. 6) составить программу на языке высокого

уровня, выполняющую вычисление допустимых погрешностей аргументов при

известном значении погрешности функции f (x, y, z) = xy + yz + xz .

Воспользуемся формулой (9):

1. Найдем погрешности функции от нескольких переменных

2. Разделим погрешность ФНП на количество переменных умноженных на модуль производной данной функции от аргумента, погрешность которого мы ищем

Вычисления на Mathcad

Вывод:

Точность результата вычислений во многом зависит от ограниченной разрядной сетки ЭВМ. Мы высчитали погрешности представления в ЭВМ заданных чисел, погрешности для данных выражений, т.е. погрешности для суммы, разности, произведения и частного, учитывая ограниченное число разрядов. Научились вычислять значение функции по приближенным данным, и оценили её значение, считая число зарядов ограниченным, а так же, наоборот, по заданному значению функции мы высчитали допустимые погрешности аргументов.