3. Аномальные уровни во временных рядах

Аномальные уровни во временных рядах могут возникать из-за воздействия факторов, имеющих объективный характер, но проявляющийся эпизодически, очень редко – ошибка второго рода; они устранению не подлежат.

Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей.

Метод Ирвина, например, предполагает использование следующей формулы:

, (9)

где среднеквадратическое отклонение рассчитывается в свою очередь с использованием формул:

; (10)

Расчетные значения , и т.д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина , и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным. Значения критерия Ирвина для уровня значимости , то есть с 5% ошибкой, приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Значения критерия Ирвина

n	2	3	10	20	30	50	100
	2,8	2,8	1,5	1,3	1,2	1,1	1

Для определения наличия тренда в исходном временном ряду применяется метод проверки разностей средних уровней, который состоит из 4 этапов:

1. Исходный временной ряд разбивается на две примерно равные по числу уровней части: в первой части первых уровней исходного ряда, во второй – остальных уровней ( + = ).

2. Для каждой из этих частей вычисляются средние значения и дисперсии:

; ; (11)

;

3. Проверяются равенства (однородности) дисперсий обеих частей ряда с помощью F-критерия Фишера, которая основана на сравнении расчетного значения этого критерия

Если расчетное значение F меньше табличного , то гипотеза о равенстве дисперсий принимается. Если F больше или равно , гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется и делается вывод, что данный метод для определения наличия тренда ответа не дает.

4. Проверяется гипотеза об отсутствии тренда с использованием t-критерия Стьюдента. Для этого определяется расчетное значение критерия Стьюдента по формуле:

, (12)

где – среднеквадратическое отклонение разности средних:

(13)

Если расчетное значение t меньше табличного значения статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости , гипотеза принимается, т.е. тренда нет, в противном случае тренд есть. Заметим, что в данном случае табличное значение берется для числа степеней свободы, равного , при этом данный метод применим только для рядов с монотонной тенденцией.

3. Тренд во временном ряду

Под трендом временного ряда будем понимать гладкую функцию, описывающую его долгосрочное поведение. В целях устранения случайных колебаний и выявления тренда пользуются выравниванием уровней ряда по аналитическим формулам (или аналитическое выравнивание). Суть аналитического выравнивания заключается в замене эмпирических (фактических) уровней теоретическими , которые рассчитаны по определенному уравнению, принятому за математическую модель тренда, где теоретические уровни рассматриваются как функция времени:

При этом каждый фактический уровень рассматривается как сумма двух составляющих: , где – систематическая составляющая, отражающая тренд и выраженная определенной аналитической формулой, а – случайная величина, вызывающая колебания уровней вокруг тренда.

Задача аналитического выравнивания сводится к следующему:

– определению на основе фактических данных вида (формы) предполагаемой функции , способной наиболее адекватно отразить тенденцию развития исследуемого показателя;

– нахождению по эмпирическим данным параметров указанной функции (уравнения);

– расчету по найденному уравнению теоретических (выравненных) уровней.

В аналитическом выравнивании наиболее часто используются следующие простейшие функции:

• линейная функция ;

• полином второго (или более высокого) порядка (парабола):

;

• показательная функция: ;

• гиперболическая функция: ;

• ряд Фурье:

Здесь – теоретические (выравненные) уровни; – условное обозначение времени ( ); – параметры аналитической функции; – число гармоник (при выравнивании по ряду Фурье).

Сформулируем некоторые правила или условия использования перечисленных уравнений, которыми полезно руководствоваться при выборе функции.

1. Выравнивание по прямой линии (линейной функции) эффективно для рядов, уровни которых изменяются примерно в арифметической прогрессии, т. е. когда абсолютные цепные приросты (первые разности уровней) более или менее постоянны.

2. Если вторые разности уровней (ускорения) более или менее постоянны, то такое развитие хорошо описывается параболой 2-го порядка . Если постоянны n-е разности уровней, можно использовать параболу n-го порядка , позволяющую учитывать перегибы кривой, смену направлений изменения уровней. Парабола 2-го порядка отражает развитие с ускоренным или замедленным изменением уровней ряда.

3. Если при последовательном расположении (меняющемся в арифметической прогрессии) значения уровней меняются в геометрической прогрессии, т. е. цепные темпы роста примерно постоянны, то такое развитие можно отразить показательной функцией .

4. Если обнаружено замедленное снижение уровней ряда, которые по логике не могут снизиться до нуля, для описания характера тренда выбирают гиперболу вида и т. д.

Если по тем или иным причинам уровни эмпирического ряда трудно математически описать одной функцией, следует разбить исследуемый период на отдельные части и затем выровнять каждую часть по соответствующей кривой.

Тренд используют при прогнозировании поведения ряда в будущем. Чтобы прогноз оказался достаточно точным, нужно уметь описывать и отклонения значений ряда от тренда. Вследствие того, что рассмотрение моделей случайной компоненты временных рядов требует использования достаточно сложной математики, авторы вынуждены отказаться от изложения этих моделей.

Для получения уравнения тренда чаще всего используют метод наименьших квадратов. Время t рассматривается как независимая переменная, а значения временного ряда полагают функцией времени. При этом вычисления несколько упрощаются из-за того, что значения аргумента

t – натуральные числа. Если в ряде n значений, то