2.4). Что такое градиент и антиградиент функции многих переменных и каков их геометрический смысл? Что такое матрица Гессе функции многих переменных?

Градиентом непрерывно дифференцируемой функции f(x) в точке x называется вектор-столбец, элементами которого являются частные производные первого порядка, вычисленные в данной точке. Вместе с градиентом можно определить вектор антиградиента, равный по модулю вектору градиента, но противоположный по направлению.

Геометрический смысл: градиент (антиградиент) функции направлен по нормали к поверхности уровня, т.е. перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в точке x, в сторону наибольшего возрастания (убывания) функции в данной точке.

Матрицей Гессе H(x) дважды непрерывно дифференцируемой в точке x функции f(x) называется матрица частных производных второго порядка, вычисленных в данной точке. Матрица Гессе является симметрической размера nxn.

2.5). Когда говорят, что сильно выпуклая функция f(X) имеет “овражный характер”? Какие задачи минимизации называются хорошо обусловленными, а какие − плохо обусловленными?

Число обусловленности для симметрической положительно определенной матрицы равно lL/=μ − отношению наибольшего и наименьшего собственных значений матрицы. Эта величина для матрицы вторых производных (гессиана) характеризует степень вытянутости линий уровня f(x)=C.

Если μ велико, то линии уровня сильно вытянуты и говорят, что функция имеет овражный характер, т.е. резко меняется по одним направлениям и слабо − по другим. В этих случаях задачу минимизации называют плохо обусловленной. Если же число μ близко к единице, то линии уровня близки к окружностям и задача минимизации является хорошо обусловленной.

2.8). Какая задача оптимизации называется задачей линейного программирования?

Задача нахождения экстремума линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и равенств, называется задачей линейного программирования.

Общей (основной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции (целевая функция) при выполнении условий: - ограничения данной задачи.

Канонической задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (целевая функция) при выполнении условий

, где k=0 b l=n - ограничения данной задачи.

Вектор X=(x₁, x₂,…,x_n)^T, удовлетворяющий ограничениям задачи, называется допустимым решением, или планом. План X*=(x₁*, x₂*,…,x_n*)^T, при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.