2.4). Записать приращение функции f(X)∈c2(En) в точке X через градиент и матрицу Гессе.

С помощью градиента и матрицы Гессе, используя разложение в ряд Тейлора, приращение функции f(x) может быть записано в форме: , где - сумма всех членов разложения, имеющих порядок выше второго, - квадратичная форма.

2.5). Какие направления дифференцируемой в точке xk функции f(X) называются направлениями убывания? Каков геометрический смысл направления убывания?

Направление вектора p^k называется направлением убывания функции f(x) в точке x^k, если при всех достаточно малых положительных α выполняется неравенство .

Теорема (достаточное условие направления убывания). Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x^k. Если вектор p^k удовлетворяет условию , то направление вектора p^k является направлением убывания.

• Функция диффер. при всех достаточно малых α>0, т.е. вектор p^k задает направление убывания функции f(x) в точке x^k.

2.8). Описать алгоритм графического решения задачи линейного программирования.

См. п. 8.3 книги по МО

Вариант 8

2.1). В чем заключается классический метод минимизации функций? Для каких целей разработан классический метод минимизации функций? Какова практическая ограниченность применимости этого метода?

Алгоритм минимизации f(x) на отрезке [a,b] классическим методом:

1). Находим все точки возможного экстремума функции f(x) на интервале (a,b), т.е. корни уравнения f’(x)=0.

2). Вычисляем значения f(x) во всех найденных точках.

3). Наименьшему из вычисленных значений соответствует точка глобального минимума f(x) на [a,b].

Т.к. из условия локального экстремума функции f(x), дифференцируемой достаточное количество раз для поиска точки глобального минимума требуется вычисление высших производных функции f(x), в большинстве случаев бывает проще сравнить значения во всех стационарных точках, не интересуясь их характером. С учетом этого разработан классический метод минимизации функций.

Классический метод подразумевает вычисление первой и второй производной для функции. Следовательно, работает он для дважды дифференцируемых функций. Для других функций он не применим.

2.2). Зависит ли точность определения X*, которую получают методом парабол в результате n вычислений функции f(X), от конкретной функции f(X)?

Зависит. См. лабу №1, задание с экспонентой.

Если функция в окрестности точки минимума «плоская», то потребуется много вычислений функции методом порабол, прежде, чем мы достигнем требуемой точности. Немного подумав по этому поводу, можно родить ответ.

2.3). Увеличение используемого значения константы Липшица l при реализации метода ломаных приводит к замедлению сходимости метода. Объяснить этот факт с помощью геометрической иллюстрации.

Допуск к Л.Р. №2. Лень рисовать, но суть в том, что если константа Липшица завышена, то можно легко показать на рисунке, что на первой-второй итерации метода расстояние от аппроксимирующего минимума до реального минимума функции (по оси Y) больше, чем то же расстояние при заниженной К.Л. Значит, если константа завышена, то для достижения минимума с определенной точностью потребуется больше итераций, следовательно, метод замедляется.