Приложение 1. Требования к качеству экспериментов для возможности их планирования.

Успешное применение методов планирования экспериментов возможно только тогда, когда опыты являются воспроизводимыми, а выборочные дисперсии однородными. Чтобы в этом убедиться, необходимо :

1. Определить среднее по результатам параллельных измерений

Y =Y_ij/m; i=1,2,..n и j=1,2,..m

2. Определить выборочные дисперсии

S_i² =(Y_cpij -Y_icp)² /(m-1)

3.Найти сумму выборочных дисперсий S²_сум =S_i²

4. Составить отношение G=S²_max/S²_сум , в числителе - максимальное значение выборочной дисперсии. G-расчетное значение критерия Кохрена.

Если рассчитанное

G<G_табл. (N,f), (*)

то можно с вероятностью 1- принять гипотезу о воспроизводимости опытов и об однородности дисперсий.

Обычно берут =0,05. При m=3 и n=10 G_табл =0,445.

Если условие (*) не выполняется, то, возможно, что опыт, имеющий

максимальную дисперсию, поставлен неправильно и его надо переделать.

5. Если выборочные дисперсии однородны, то рассчитывают оценку

воспроизводимости S_вос² =S_i /N

6. Находят среднеквадратичную оценку дисперсии

воспроизводимости S=(S_вос² )^1/2 .

Приложение 2. Практические занятия.

Практическое занятие 3

Оценка расхождений между средними значениями

Проверим гипотезу, что две независимые частичные совокупности n₁ и n₂ взяты из одной и той же нормально распределенной общей совокупности, имеющей среднее значение X₀ и дисперсию ² .

Пусть оценки дисперсии S₁ и S₂ и пусть проверяемая гипотеза верна. Основой проверки является разность X_cp1 и X_cp2 , дисперсия которой равна

₁²/n₁+₂²/n₂ = (n₁ + n₂ )² /n₁n₂

Так как оценки S₁² и S₂² дисперсии ² имеют вес n₁ -1 и n₂ -1, то полная оценка дисперсии ² будет равна

S² =[(n₁ -1)S₁² +(n₂ -1)S₂²]/[(n₁ -1)+(n₂ -1)] =

= [(X-X_cp)² +(X-X_cp)²]/(n₁ +n₂ -2)

В результате получаем

t = [(X_ср2 -X_cp1)/S][n₁n₂ /(n₁ +n₂ )]^0.5

Для оценки значимости расхождения между двумя средними можно воспользоваться таблицей t с числом степеней свободы n₁+n₂ -2.

В вышеприведенном примере t=2,8, а табличное t=2,567 при =18 P=0,02. Т.о. вероятность случайных значений t, которые по абсолютной величине не меньше наблюдаемого t ничтожно мала. Следовательно, наблюдаемое расхождение не является случайным.

Практическое занятие 4

Расчет доверительных границ. Оценка брака.

Рассчитаем по результатам выборки контрольных параметров, какой ожидается процент изделий не соответствующих заданным параметрам – процент брака. В соответствии с техническими условиями показатель качества должен быть x±z (например, 25±5).

Задача формулируется следующим образом: Найти вероятность того, что абсолютное отклонение Δх=Х-Хср не превзойдет заданного числа z (5). Чтобы от естественных значений х перейти к нормализованным Х, нужно использовать табличные значения Ф(Х), требуется провести нормализацию

Х=(х-хср)/Sx..

По результатам 15 испытаний рассчитаем S и Хср.

Вероятность противного события Р(Δх<=5)=2Ф(5/σ)=Y. Поэтому Р(Δх>=5)=1-Y.

2Ф(5/2,36)=2*0,482=0,964 Р=1-0,964=0,036 или Р=3,6%