
- •Глава 1. Представление результатов экспериментов.
- •Лекция 2. Пример обработки результатов. Функция желательности.
- •Использование критерия Стьюдента.
- •Понятие целевой обобщенной функции, функция желательности.
- •Функция желательности
- •Пример.
- •Решение задач о погрешностях.
- •Глава 3. Методы корреляционного и регрессионного анализа.
- •Приложение 1. Требования к качеству экспериментов для возможности их планирования.
- •Практическое занятие 4
- •Практическое занятие 5.
- •Практическое занятие 7.
- •Приложении 3. Описание лабораторных работ
- •1.Теоретичекая часть.
- •X13,y23. (Рис.1) После нахождения значений функции во всех трех точках
- •2. Порядок выполнения работы.
- •3. Сдача зачета по лабораторной работе.
- •1.Теоретическая часть.
Использование критерия Стьюдента.
Получение большого количества точек для построения кривой распределения требует проведения многократных измерений с большим числом образцов. В связи с этим нередко ограничиваются небольшим числом наблюдений (образцов), стремясь получить оценочное значение параметра с достаточной для практики точностью. С помощью критерия Стьюдента удается при ограниченном числе наблюдений (так называемой частичной совокупности ) установить с определенной степенью вероятности границы, между которыми заключено среднее значение искомого параметра , отвечающее полной совокупности (т.е. достаточно большому числу) опытов.
Рассмотрим последовательность статистической обработки результатов измерения, например диэлектрической проницаемости ε.
В результате экспериментов получили частичную совокупность значений εi. Находят среднее значение частичной совокупности
Εчаст=(1/N)Σεi
Где N–число наблюдений. Вместо определения среднего квадратичного отклонения , которое для частичной совокупности неизвестно, производят оценку этого отклонения по формуле
S=[Σ(εi-εчаст)2/(N-1)]1/2
Границы, заключающие среднеe значение полной совокупности εср, согласно критерию Стьюдента определяются величинами
ε=εчаст±St(γ)/(N)1/2
Их часто называют доверительными границами при доверительной вероятности ( γ ).
Здесь t(γ) – табличная функция вероятности γ и количества наблюдений N. Значение доверительной вероятности обычно задается равным 0,95-0,999.
Чем больше число наблюдений, тем ближе друг к другу границы, т.е. тем больше точность определения εср.
Рассмотрим применение критерия Стьюдента на примере определения диэлектрической проницаемости текстолита по данным 10 измерений при доверительной вероятности 0,95. Оказалось, что значение ε колеблется от 4,7 до 5,5. Сумма всех измеренных значений ε Σε=50,3. Далее подсчитываем
εчаст=50,3/10=5,03
S=(1,282/9)1/2=0,377
В таблице находит для γ=0,95 и N=9 t=2.26. Подставляя полученные величины, находим
S/(10)1/2 =0,269.
Граничные значения εср=5,03±0,27
Таким образом, с вероятностью 95% можно утверждать, что величина εср ограничена значениями
4,76≤ εср ≤ 5,30
Результаты определения электрической прочности
№ интервала |
Напряжение пробоя |
р |
М Общее число пробоев |
Ui-Ucp |
(Ui-Ucp)2 |
1 |
27,2 |
0,3 |
0,3 |
3.04 |
9.25 |
2 |
27,6 |
1 |
1,3 |
2.64 |
6,97 |
3 |
28 |
2,0 |
3,3 |
2.24 |
5,00 |
4 |
28,4 |
4,0 |
7,3 |
1.84 |
3,38 |
5 |
28,8 |
8,5 |
15,8 |
1.44 |
2,07 |
6 |
29,2 |
12,0 |
27,8 |
1.04 |
1,08 |
7 |
29,6 |
14,5 |
42,3 |
0.64 |
0,41 |
8 |
30 |
16 |
58,3 |
0.24 |
0,06 |
9 |
30,4 |
14 |
72,3 |
0.16 |
0,013 |
10 |
30,8 |
12 |
84,3 |
0.56 |
0,31 |
11 |
31,2 |
8 |
92,3 |
0.96 |
0,92 |
12 |
31,6 |
3 |
95,3 |
1.36 |
1,85 |
13 |
32 |
3 |
98,3 |
1.76 |
3,04 |
14 |
32,4 |
1 |
99,3 |
2.16 |
4,67 |
15 |
32,8 |
0,7 |
100 |
2.56 |
6,55 |
Сумма |
Uср=30,24 |
100 |
|
|
|
σ=0,676 кВ
kвар=2,24%
Оценка расхождений между средними знпчениями
Проверим гипотезу, что две независимые частичные совокупности n1 и n2 взяты из одной и той же нормально распределенной общей совокупности, имеющей среднее значение X0 и дисперсию 2 .
Пусть оценки дисперсии S1 и S2 и пусть проверяемая гипотеза верна. Основой проверки является разность Xcp1 и Xcp2 , дисперсия которой равна
12/n1+22/n2 = (n1 + n2 )2 /n1n2
Так как оценки S12 и S22 дисперсии 2 имеют вес n1 -1 и n2 -1, то полная оценка дисперсии 2 будет равна
S2 =[(n1 -1)S12 +(n2 -1)S22]/[(n1 -1)+(n2 -1)] =
= [(X-Xcp)2 +(X-Xcp)2]/(n1 +n2 -2)
В результате получаем
t = [(X -Xcp1)2/S][n1n2 /(n1 +n2 )]
Для оценки значимости расхождения между двумя средними можно воспользоваться таблицей t с числом степеней свободы n1+n2 -2.
В вышеприведенном примере t=2,8, а табличное t=2,567 при =18 P=0,02. Т.о. вероятность случайных значений t, которые по абсолютной величине не меньше наблюдаемого t ничтожно мала. Следовательно, наблюдаемое расхождение не является случайным.
Оценка дисперсии. Критерий Фишера.
Пусть есть две независимых совокупности X'...Xn1 ' и X"...Xn2 " со средними значениями Xcp1 и Xcp2 . Оценки дисперсий S12 и S22 .Необходимо выяснить, являются ли эти оценки существенно pазличными или данные частичные совокупности можно рассматривать, как взятые наудачу из нормальных общих совокупностей, имеющих равные дисперсии 2 .
Для решения этой задачи используют критерий Фишера F - (дисперсионное отношение) - отношение оценок S12 и S22 дисперсии , полученные из независимых частичных совокупностей F=S12/S22 . Построены таблицы F в зависимости от степени свободы , которые могут быть превзойдены соответственно с вероятностью 0,05; 0,01 и др.
Проверяемая гипотеза: Частичные совокупности взяты из одной и той же совокупности из нормальных общих совокупностей равной дисперсией. За S12 берется большая из них.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -
Пример. 4. Пусть работают два лаборанта. У одного из них получилось Xср1 =4,57 S12 =0,0295 =19 (n=20). У другого Xср2 =4,56 S22=0,0139 =12
Находим F=0,0295/0,0139=2,12. По таблице при =19 и 12 и 5% уровне значимости F=2,54. Так как рассчитанное F меньше табличного, то нет оснований считать разницу в точности существенной.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Критерий Романовского
Для сравнения дисперсий с помощью критерия Романовского вводится величина f=[(n -2)/n ]F, где F-критерий Фишера. Математическое ожидание этой величины в случае независимого выбора из нормальных общих совокупностей с одинаковой дисперсией равно 1, а основное отклонение равно r =+[(21 +1 -2)/ 1(2 -4)]1/2 .
По величине критерия R=|f-1|/r можно сделать заключение о существенности или случайности расхождений между оценками S12 и S22 .
Если R3, то расхождение существенно.
Если R<3, то расхождение признается случайным.
Для применения этого критерия надо, чтобы одно из значений степеней свободы было больше 4. Оно принимается за 2 . В примеpе о работе двух лаборантов получаем f=1,77 и r =0,72 R=1,07.Вывод тот же.
Критерий согласия Пирсона P(2 )
Критерий Пирсона проверяет гипотезу, удовлетворяет ли рассматриваемая случайная величина заданному закону распределения F(X). Критерий Пирсона называется также критерием согласия или критерий хи-квадрат. Критерий служит для проверки гипотезы, что функция распределения, полученная экспериментально, F(X), соответствует некоторой заданной (гипотетической) функции распределения F0(X). Для расчетов область значений Х делится на ряд интервалов h. Пусть рi теоретическая вероятность того, что случайная величина попадает в интервал i. Затем сравниваем число с теоретическим.
Распределение Р(2) представляет собой вероятность того, что
случайная величина 2 =(Xh2/h2 ) (где Xh =ni -nч ; nч -частота нормального распределения) примет значение, превосходящее некоторое заданное :
h
2 =(ni-npi)2/npi
i=1
где рi=ni/n и h-число интервалов; Xh(h=1,n) - независимые случайные величины, имеющие нормальные распределения с общим средним значением, равным нулю и дисперсиями h2 (h=1,n). Число независимых величин - число степеней свободы.
Пусть есть m независимых линейных связей и n - случайные величины.
Тогда =n-m. Есть Таблица, где по данному значению 2 и числу степеней свободы n найти вероятность P(2) того, что 2 превзойдет данное значение.
Например, для n=10 и 5% уровня значимости по таблице находим 2 =18,307. Это значит, что вероятность того, что 2 с 10 степенями свободы будет превышать 18,307, равна 0.05. Когда n>30 вероятность P(2) находится по формуле
P(2)=(1/2)[1-Ф(x)],
где Ф(X) берется из таблицы - функция Лапласа.
При >30, распределение величины (22 )1/2 оказывается приближенно нормальным со средним значением, равным (2-1)1/2 и основным отклонением, равным единице.
Оценка воспроизводимости.
Дисперсию генеральной совокупности 2х нормально распределенной случайной величины можно оценить, если известно распределение ее оценки - выборочной дисперсии S2ч . Распределение S2х можно получить по распределению 2 .
Если есть выборка n независимых наблюдений X1 ,X2 ,...Xn над нормально распределенной случайной величиной, то имеет место распределение 2
2 =[(Xi -Xcp)2 /х ]
с f=n-1 степенями свободы. Плотность 2 зависит только от f:
f(2)= 1/[2f/2 Г(f/2)] (2)(f-2)/2 exp(-2 /2), 0 < < .
Есть таблицы f от f и с разной 1-p доверительной вероятностью.
Двусторонняя оценка Sx. Кривые асимметричны, степень симметрии
уменьшается с увеличением f.
2 p/2 2 2 1-p/2
Односторонняя оценка: 2 21-p ; 2 2p .
Или двусторонняя:
fS2x / 2 1-p/2 2х fS2х/2р
и односторонняя:
х2 fSх2 /2 р и х2 fSх2 /21-р
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Пример 5. Испытания показали,что параметр X равен 17,2, 16,3, 15,5
Определить ошибку воспроизводимости. Для этого рассчитаем выборочную дисперсию
Sх2 = (X-Xср)2 /(3-2)=0,73
При доверительной вероятности 1-р=0,9 по таблице при f=2 находим
2 0,05 =6 и 2 0,95 = 0,103
0,73 х 2/6 х2 0,73 х 6/0,103
0,24 х2 14,1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
При n>30 выборочная S распределена нормально с математическим ожиданием с ощибкой s = x /(2f)1/2 = Sx/(2f)1/2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Пример 6. Оценить ошибку воспроизводимости s для выборки из 31
измерений с S =0,85 при 1-p = 0,9.
Доверительный интервал:
2 0,05 = 43,8 и 2 0,95 =18,5
0,85 .30/43,8 х2 0,85.30/18,5; 0,48 х2 1,13
Ошибки косвенных измерений
Пусть случайная величина Z зависит от наблюдений по известному
закону Z=f(X1 ,X2 ,...Xn ). Дисперсию косвенных измерений можно найти, зная дисперсию отдельных наблюдений. На практике определяют выборочную дисперсию Sxi2 и по ним выборочную дисперсию косвенного измерения Sz2 . Чтобы найти ее, разложим функцию Z(X) в ряд Тейлора в точке m1 ,m2...mn , ограничиваясь членами первого порядка:
Z=f(m1 , m2 ...mn ) + (X1 -m1 )df/dX1 + (X2 -m2 )df/dX2 +...(Xn -mn )df/dXn
и Sz определим по закону сложения дисперсий (закон накопления ошибок)
n
Sz2 = (df/dXi )Si2
i=1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Пример 7. Определить ошибку определения линейной скорости движения газа в трубопроводе v, если измерено G=3000 м /час, S =10 м /час, сечение трубопровода F=0,1 м 1 см .
Решение: v - результат косвенных измерений v=G/F=3000/0,1=30000 м/час= =8,82 м/сек. Sv =[(dv/dG)2 SG2 + (dv/dF)2 SF2 ]1/2 = [SG2/F2 + G2 SF2/F4]1/2 =
= [10000 + 900]1/2 = 100/3600 = 0,03 м/c
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Определение воспроизводимости (дисперсии по текущим измерениям).
Если сделано m параллельных опытов и получена выборка y1 ,y2 ,...yn то дисперсия воспроизводимости
u
Sв2 =[(y-ycp)]/(m-1)
u-1
и ошибка опыта (ошибка воспроизводимости ) Sвос = (Sв2)1/2
Общая дисперсия воспроизводимости S2 = (yn -yi)/mi -n
где yn =ym /mm.
Если число параллельных опытов одинаково (m1 =m2 =...=m),то дисперсия воспроизводимости S2 =Si2/n или
n m
Sв2 = (yiu-yicp)2/n(m-1)
i-1 u-1
Если выборочные дисперсии получены по выборкам одинаковых объемов m1=mn=...=m , то для их сравнения используют критерий Кохрена
n
G=S2max /Si2
i=1