5. Вычеты и их применение
Пусть
– изолированная особая точка однозначной
аналитической функции
и
– окружность
такая, что в замкнутом круге
нет других особых точек функции
,
кроме точки
.
Интеграл от функции
по такой окружности
,
деленный на
,
называется вычетом
функции
в точке
и обозначается
.
Таким образом, по определению
.
Вычислять вычеты, исходя из определения, довольно трудно. Поэтому на практике применяются следующие утверждения:
Теорема
8 (о вычете относительно изолированной
особой точки).
Вычет функции
в изолированной особой точке
равен коэффициенту при
в разложении функции в ряд Лорана в
окрестности точки
:
.
Если точка – полюс, то для определения вычета иногда можно и не находить разложение функции в ряд Лорана. Имеются более простые способы.
Теорема 9 (о вычете относительно полюса). Пусть – полюс порядка функции . Тогда
. (20)
Следствие. Если – простой полюс функции , то
. (21)
Вычисление вычета в простом полюсе еще более упрощается, если имеет вид:
,
где
,
,
.
Тогда
. (22)
Пример 5.1. Вычислить вычеты функции относительно каждой из ее особых точек.
Решение. В примере 4.3 установлено, что точка – существенно особая точка данной функции, и получено разложение функции в ряд Лорана в окрестности этой точки:
,
следовательно,
.
Пример
5.2. Вычислить
вычеты функции
относительно каждой из ее особых точек.
Решение.
Особыми точками данной функции являются
нули знаменателя
– простой полюс и
– полюс второго порядка. Найдем вычет
относительно точки
по формуле (21):
.
Для
определения вычета относительно точки
воспользуемся формулой (20) при
:
.
Теория вычетов находит широкое применение благодаря следующему утверждению:
Теорема
10 (о вычетах).
Пусть функция
является аналитической в области
всюду, за исключением конечного числа
точек
,
.
Пусть замкнутый контур
содержится в области
и не проходит через особые точки. Тогда
интеграл от функции
по контуру
равен сумме вычетов функции относительно
всех особых точек
(
),
заключенных внутри
,
умноженной на
:
.
Теорема
11 (о вычетах на расширенной комплексной
плоскости).
Пусть функция
является аналитической на расширенной
комплексной плоскости, кроме конечного
числа точек
,
,
,…,
.
Тогда
.
Пример
5.3. Вычислить
интеграл
.
Решение.
Особыми точками подынтегральной функции
являются точки
,
,
.
Из них внутри окружности
лежат только две:
и
.
Поэтому по теореме 10
.
Обе эти точки являются для данной функции простыми полюсами. Воспользуемся формулой (22):
,
.
Следовательно,
.
Пример
5.4. Вычислить
интеграл
.
Решение.
Внутри окружности
лежат восемь полюсов второго порядка,
а вне ее – простой полюс
и
.
По формуле (21) найдем вычет в точке
:
.
Для
определения вычета в точке
найдем несколько членов разложения
подынтегральной функции в ряд Лорана
в окрестности этой точки. Введем новую
переменную
,
тогда
.
Так
как функция
аналитична в круге
,
то ее можно разложить в этом круге в
степенной ряд:
,
.
Тогда
,
или
,
.
В
полученном разложении коэффициент при
равен нулю, т.е.
.
Значит по теореме 11
.