4. Изолированные особые точки аналитических функций

Точка называется правильной точкой функции , если функция аналитична в этой точке. Если функция не является аналитической в точке , но аналитична в некоторой ее проколотой окрестности , то точка называется изолированной особой точкой функции .

Так как проколотую окрестность точки можно рассматривать как частный случай кольца, то функция разлагается в нем в ряд Лорана по степеням . В зависимости от вида этого ряда различают три типа изолированных особых точек.

Изолированная особая точка для функции называется

1. устранимой, если указанный ряд Лорана содержит только правильную часть:

;

2. полюсом, если главная часть ряда Лорана содержит лишь конечное число членов:

,

причем , . Число называется порядком полюса, при полюс называется простым.

3. существенно особой, если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов:

,

причем для бесконечного числа отрицательных номеров .

Во многих вопросах комплексного анализа удобно рассматривать расширенную комплексную плоскость, т.е. плоскость, дополненную символической точкой .

Точка называется изолированной особой точкой функции , если аналитична в области (в окрестности бесконечно удаленной точки). В этом случае точка является изолированной особой точкой функции . Точка называется устранимой особой точкой, полюсом порядка или существенно особой точкой функции в зависимости от того, является ли точка устранимой особой точкой, полюсом порядка или существенно особой точкой функции .

Разложим функцию в ряд Лорана в кольце

и произведем замену переменной . Получим ряд

,

который называется рядом Лорана функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Ряд называется главной, а ряд – правильной частью ряда Лорана функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Если главная часть разложения отсутствует, то точка является устранимой особой точкой. В этом случае полагают по определению и говорят, что является правильной точкой функции . При этом, если является нулем порядка функции , то говорят, что является нулем порядка функции .

Теорема 5 (о связи между нулем и полюсом). Точка является полюсом порядка функции тогда и только тогда, когда она является нулем порядка функции .

Теорема 6 (о существенно особой точке). Если существует окрестность существенно особой точки аналитической функции , в которой , то точка является существенно особой и для функции .

Теорема 7 (Сохоцкого). Если – существенно особая точка функции , то для любого существует последовательность точек , , сходящаяся к точке , такая что .

Функция, аналитическая на всей комплексной плоскости, называется целой. Целая функция, для которой точка является существенно особой точкой, называется целой трансцендентной. Функция, аналитическая в области всюду, кроме полюсов, называется мероморфной в .

На практике при определении вида особых точек часто бывает полезен следующий простой факт:

если – нуль порядка аналитической функции , а функция аналитична в точке и , то – полюс порядка функции .

Пример 4.1. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция представляет собой частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций, поэтому ее особыми точками могут быть только нули знаменателя. Найдем их:

, , .

Причем они являются простыми нулями.

Так как числитель ни в одной из этих точек не обращается в нуль, то по теореме 5 точки , , являются простыми полюсами исходной функции.

Пример 4.2. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция как частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций может иметь особой точкой только нуль знаменателя, т.е. . Однако точка является также и нулем числителя. Поэтому для выяснения вида особенности разложим функцию в ряд Лорана по степеням :

.

Ряд не содержит отрицательных степеней , поэтому – устранимая особая точка.

Пример 4.3. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция определена и дифференцируема на всей комплексной плоскости, за исключением точки . Это изолированная особая точка. Запишем ряд Лорана для функции в окрестности точки , пользуясь разложением (7) для функции , полагая :

.

Ряд содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями. Поэтому точка – существенно особая.

Пример 4.4. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид.

Решение. Данная функция есть частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций. Поэтому ее особыми точками являются нули знаменателя:

, .

Так как числитель дроби в нуль не обращается, то эти точки являются полюсами. Определим порядки полюсов по порядкам нулей функции

.

Вычислим:

, , ,

, , .

Следовательно, точки ( ) являются нулями второго порядка функции и, по теореме 5, полюсами второго порядка функции .

Вид изолированной особенности характеризует поведение функции в окрестности этой особенности:

если – устранимая особая точка функции , то существует конечный предел функции в точке ;

если – полюс, то при

если же – существенно особая точка, то указанного предела не существует.

Эти свойства являются характеристическими, т.е. справедливы и обратные утверждения.

Пример 4.5. Найти изолированные особые точки функции и определить их вид, используя характеристические свойства особых точек.

Решение. Единственная особая точка данной функции – (см. пример 4.2). Так как

,

т.е. функция имеет конечный предел в точке , то является устранимой особой точкой данной функции.