
4. Изолированные особые точки аналитических функций
Точка
называется правильной
точкой
функции
,
если функция
аналитична в этой точке. Если функция
не является аналитической в точке
,
но аналитична в некоторой ее проколотой
окрестности
,
то точка
называется изолированной
особой точкой
функции
.
Так
как проколотую окрестность точки
можно рассматривать как частный случай
кольца, то функция
разлагается в нем в ряд Лорана по степеням
.
В зависимости от вида этого ряда различают
три типа изолированных особых точек.
Изолированная особая точка для функции называется
устранимой, если указанный ряд Лорана содержит только правильную часть:
;
полюсом, если главная часть ряда Лорана содержит лишь конечное число членов:
,
причем
,
.
Число
называется порядком
полюса, при
полюс называется простым.
существенно особой, если главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов:
,
причем
для бесконечного числа отрицательных
номеров
.
Во
многих вопросах комплексного анализа
удобно рассматривать расширенную
комплексную плоскость, т.е. плоскость,
дополненную символической точкой
.
Точка
называется изолированной
особой точкой
функции
,
если
аналитична в области
(в окрестности бесконечно удаленной
точки). В этом случае точка
является изолированной особой точкой
функции
.
Точка
называется устранимой
особой точкой,
полюсом
порядка
или существенно
особой точкой функции
в зависимости от того, является ли точка
устранимой особой точкой, полюсом
порядка
или существенно особой точкой
функции
.
Разложим
функцию в ряд Лорана в кольце
и
произведем замену переменной
.
Получим ряд
,
который
называется рядом
Лорана функции
в окрестности бесконечно удаленной
точки. Ряд
называется главной,
а ряд
– правильной
частью
ряда Лорана функции
в окрестности
бесконечно удаленной точки.
Если главная часть разложения отсутствует,
то точка
является устранимой особой точкой. В
этом случае полагают по определению
и говорят, что
является правильной точкой функции
.
При этом, если
является нулем порядка
функции
,
то говорят, что
является нулем
порядка
функции
.
Теорема
5 (о связи между нулем и полюсом).
Точка
является полюсом порядка
функции
тогда и только тогда, когда она является
нулем порядка
функции
.
Теорема
6 (о существенно особой точке).
Если существует окрестность существенно
особой точки
аналитической функции
,
в которой
,
то точка
является существенно особой и для
функции
.
Теорема
7 (Сохоцкого).
Если
– существенно особая точка функции
,
то для любого
существует последовательность точек
,
,
сходящаяся к точке
,
такая что
.
Функция, аналитическая на всей комплексной плоскости, называется целой. Целая функция, для которой точка является существенно особой точкой, называется целой трансцендентной. Функция, аналитическая в области всюду, кроме полюсов, называется мероморфной в .
На практике при определении вида особых точек часто бывает полезен следующий простой факт:
если
– нуль порядка
аналитической функции
,
а функция
аналитична в точке
и
,
то
– полюс
порядка
функции
.
Пример
4.1. Найти
изолированные особые точки функции
и определить их вид.
Решение. Данная функция представляет собой частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций, поэтому ее особыми точками могут быть только нули знаменателя. Найдем их:
,
,
.
Причем они являются простыми нулями.
Так
как числитель ни в одной из этих точек
не обращается в нуль, то по теореме 5
точки
,
,
являются простыми полюсами исходной
функции.
Пример
4.2. Найти
изолированные особые точки функции
и определить их вид.
Решение.
Данная функция как частное двух
аналитических на всей комплексной
плоскости функций может иметь особой
точкой только нуль знаменателя, т.е.
.
Однако точка
является также и нулем числителя. Поэтому
для выяснения вида особенности разложим
функцию в ряд Лорана по степеням
:
.
Ряд не содержит отрицательных степеней , поэтому – устранимая особая точка.
Пример
4.3. Найти
изолированные особые точки функции
и определить их вид.
Решение.
Данная функция определена и дифференцируема
на всей комплексной плоскости, за
исключением точки
.
Это изолированная особая точка. Запишем
ряд Лорана для функции
в окрестности точки
,
пользуясь разложением (7) для функции
,
полагая
:
.
Ряд содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями. Поэтому точка – существенно особая.
Пример
4.4. Найти
изолированные особые точки функции
и определить их вид.
Решение. Данная функция есть частное двух аналитических на всей комплексной плоскости функций. Поэтому ее особыми точками являются нули знаменателя:
,
.
Так как числитель дроби в нуль не обращается, то эти точки являются полюсами. Определим порядки полюсов по порядкам нулей функции
.
Вычислим:
,
,
,
,
,
.
Следовательно,
точки
(
)
являются нулями второго порядка функции
и, по теореме 5, полюсами второго порядка
функции
.
Вид изолированной особенности характеризует поведение функции в окрестности этой особенности:
если – устранимая особая точка функции , то существует конечный предел функции в точке ;
если
– полюс, то
при
если же – существенно особая точка, то указанного предела не существует.
Эти свойства являются характеристическими, т.е. справедливы и обратные утверждения.
Пример
4.5. Найти
изолированные особые точки функции
и определить их вид, используя
характеристические свойства особых
точек.
Решение.
Единственная особая точка данной функции
–
(см. пример 4.2). Так как
,
т.е. функция имеет конечный предел в точке , то является устранимой особой точкой данной функции.