31

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»

Кафедра математики

Теория функций комплексной переменной

Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров очной формы обучения

Брянск 2012

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»

Кафедра математики

УТВЕРЖДЕНЫ

научно-методическим

советом академии

Протокол № ____

oт “____”___________2012 г.

Теория функций комплексной переменной

Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров очной формы обучения

Брянск 2012

Составители: Антоненкова О.Е., доцент кафедры математики,

Часова Н.А., доцент кафедры математики.

Рецензент: Юркова О.Н. – к.экон.н., доцент кафедры информационных технологий

Рассмотрены УМК МТФ

Протокол № от

Содержание

Введение 5

1. Функциональные ряды в комплексной области. Степенные ряды 6

2. Разложение функций в ряд Тейлора 7

3. Ряд Лорана 10

4. Изолированные особые точки аналитических функций 15

5. Вычеты и их применение 20

Варианты заданий для РГР 24

Литература 30

Введение

Теория функций комплексной переменной (ТФКП) дошла до наших дней почти в том виде, в котором оставил нам ее создатель великий французский математик Огюстен Коши (1789–1857 гг.).

ТФКП как продолжает, так и расширяет идеи математического анализа функций действительной переменной. Обычные определения, известные из алгебры чисел и математического анализа функций действительной переменной, остаются почти без изменений, но их содержание меняется весьма существенным образом. Хорошо известно, что уже обычные простейшие операции над действительными числами могут вывести за пределы их области. И решения большинства алгебраических уравнений не могут быть выражены только обычными действительными числами. Поэтому приходится расширять область действительных чисел, а таким расширением этой области и является область комплексных чисел.

Основное понятие комплексного анализа аналитическая функция. Это понятие позволяет доказать теоремы о существовании производных любого порядка от этих функций, о независимости интегралов от формы пути интегрирования. Позволяет сравнительно единообразно вычислять сложные интегралы с помощью вычетов и многое другое.

В данных методических указаниях изложены основные вопросы теории функций комплексной переменной в соответствии с действующими рабочими программами для студентов всех направлений подготовки бакалавров инженерно-технических специальностей вуза.

Каждый из выделенных параграфов содержит краткое изложение основных теоретических сведений, практическое руководство по решению стандартных математических задач. В конце предлагаются варианты заданий для расчетно-графической работы.

1. Функциональные ряды в комплексной области. Степенные ряды

Пусть – последовательность функций, определенных на множестве . Функциональным рядом в комплексной области называется выражение

, (1)

где . Функции , называются членами ряда. Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке , если сходится числовой ряд . Функциональный ряд (1) называется абсолютно сходящимся в точке , если сходится числовой ряд . Множество точек, в которых функциональный ряд (1) сходится, называется областью сходимости ряда, а функция , – суммой функционального ряда (1).

Функциональный ряд вида

, (2)

где , комплексные постоянные, – комплексная переменная, называется степенным рядом в комплексной области. Числа называются коэффициентами ряда, – его центром.

Область определения степенного ряда – вся комплексная плоскость. Очевидно, что в точке ряд (2) сходится. Следовательно, область сходимости любого степенного ряда состоит, по крайней мере, из одной точки.

Теорема 1 (Абеля). Если степенной ряд (2) сходится в точке , то он сходится абсолютно при любом , удовлетворяющем условию .

Областью сходимости ряда (2) является круг с центром в точке . Радиус сходимости степенного ряда может быть найден по формулам:

(3)

, (4)

если указанные пределы существуют.

Если , то круг сходимости – вся конечная комплексная плоскость.

Если , то круг вырождается в точку , а в его внешности, т.е. во всей комплексной плоскости, кроме точки , ряд расходится.

На окружности ряд (2) может вести себя по-разному: может сходиться во всех точках окружности, расходиться во всех точках, может в одних сходиться, а в других расходиться.

Пример 1.1. Найти радиус сходимости степенного ряда: .

Решение. Воспользуемся формулой (3). Имеем

,

.

Пример 1.2. Найти круг сходимости степенного ряда: .

Решение. Воспользуемся формулой (4). Имеем

, ,

.

Следовательно, – круг сходимости данного ряда.