Моменти випадкових величин. Деякі інші числові характеристики

Моментом -го порядку випадкової величини (початковим моментом -го порядку) називається величина , якщо вона існує. В цьому випадку існує також величина , яка називається абсолютним моментом -го порядку. Моменти випадкової величини називаються центральними моментами -го порядку: . Величина називається центральним абсолютним моментом -го порядку. Зокрема, , .

За допомогою центральних моментів вводяться такі характеристики, як асиметрія розподілу і ексцес розподілу . Для нормального розподілу ці характеристики рівні нулю. Легко показати, що асиметрія і ексцес інваріантні відносно лінійного перетворення випадкової величини: для будь-яких дійсних і випадкові величини і мають однакову асиметрію і однаковий ексцес.

Якщо функція розподілу неперервна і строго монотонна, то для довільного рівняння має єдиний розв’язок . Цей розв’язок називають -квантиллю або квантиллю порядку розподілу . Але для довільної функції розподілу рівняння може мати багато розв’язків, тоді будь-який із них називають -квантиллю розподілу , а може і не мати розв’язків. В загальному випадку -квантиллю розподілу називається таке число , що , а . Інколи -квантиль визначають за допомогою рівності .

Якщо функція розподілу випадкової величини неперервна і строго монотонна і , то .

У випадку , називають медіаною розподілу. Якщо – медіана розподілу, то і .

Якщо випадкова величина дискретна, то те із її значень, яке вона приймає із найбільшою ймовірністю, називають модою розподілу, якщо ж випадкова величина неперервна, то модою називають такі значення x, при яких щільність розподілу має максимум.

Числові характеристики багатовимірних випадкових величин

Нехай – вимірна випадкова величина. Тоді її математичним сподіванням називається вектор , якщо існують.

Величини , де , , називають змішаними моментами порядку випадкових величин . Серед змішаних моментів важливу роль відіграють моменти другого порядку – коваріації випадкових величин і :

.

Для неперервного розподілу із щільністю

,

а якщо врахуємо, що , то

.

Якщо для величин існують , , то матриця , де , називається коваріаційною (кореляційною) матрицею випадкових величин :

.

Коваріаційна матриця додатньо визначена.

Введемо ще одну досить важливу характеристику

,

яку називають коефіцієнтом кореляції випадкових величин і . Враховуючи, що

,

то для коефіцієнта кореляції справедлива формула

.

Розглянемо деякі властивості коефіцієнта кореляції. Для спрощення розглянемо двовимірний вектор , а коефіцієнт кореляції позначимо .

Із визначення коваріації випливає, що для незалежних випадкових величин , тому і . Якщо , то випадкові величини називаються некорельованими. Для нормального розподілу некорельованість означає незалежність.

, якщо , то з ймовірністю 1 між випадковими величинами і існує лінійний зв’язок. Навпаки, якщо і зв’язані лінійною залежністю, то . Тому можна розглядати як міру лінійної залежності між величинами і .