5. Ортонормальные системы функций.

Ортонормальные системы векторов встречались ранее при прохождении темы «Векторы». В частности, в трехмерном пространстве единичные векторы образуют ортонормальную систему. Взаимную ортогональность векторов системы легко проверить: взяв скалярное произведение любой пары векторов из системы, мы получим 0, если взяты два разных вектора, и 1 (квадрат длины вектора), если мы имеем скалярное умножение любого вектора на себя.

Известно, что любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации векторов системы : , причем координаты вектора представляются с помощью скалярных произведений

Возникает вопрос, можно ли построить подобные ортонормальные системы в линейных пространствах функций. Это значит, необходимо ввести аналог скалярного произведения и уметь представлять произвольные функции из линейного пространства в виде линейных комбинаций функций из ортонормальных систем. В том случае, когда ортонормальная система окажется бесконечной (счетной), представление произвольной функции из линейного пространства с помощью функций ортонормальной системы окажется разложением в ряд.

Рассмотрим пространство функций, заданных на отрезке , имеющих конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке и непрерывных в остальных точках отрезка. Будем называть такие функции кусочно-непрерывными. Очевидно, что любая линейная комбинация двух кусочно-непрерывных функций имеет только конечное число точек разрыва первого рода, то есть, является также кусочно-непрерывной функцией. Произведение двух кусочно-непрерывных функций также является кусочно-непрерывной функцией. Вот для таких функций мы введем скалярное произведение. Учтем, что кусочно-непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке. Поэтому возможно определить скалярное произведение двух кусочно-непрерывных функций и в виде

Здесь черта сверху над представляет собой комплексное сопряжение и имеет смысл только в том случае, когда функции являются комплекснозначными. Из определения следуют

Свойства скалярного произведения.

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Говорят, что множество A функций из пространства функций, кусочно-непрерывных на отрезке, образуют ортогональную систему относительно введенного на отрезке скалярного произведения, если скалярное произведение двух любых различных функций из множества A равно нулю. Множество B функций из пространства функций, кусочно-непрерывных на отрезке, образуют ортонормальную систему относительно введенного на отрезке скалярного произведения, если эта система ортогональна, в то время как скалярное произведение любой функции из множества B на себя дает единицу

Примеры ортонормальных и ортогональных систем.

Множество функций составляет ортонормальную систему относительно скалярного произведения на отрезке . Проверьте это самостоятельно.
Множество функций составляет ортонормальную систему на отрезке . Проверьте это самостоятельно.

Множество функций составляет ортонормальную систему на отрезке . Проверьте это самостоятельно.
Множество функций составляет ортогональную систему относительно скалярного произведения на отрезке . Проверьте это самостоятельно.
Множество функций , где – решение дифференциального уравнения , называемое функцией Бесселя 1-го рода, а , – множество положительных корней функции Бесселя, является ортогональной системой с весом на отрезке [0,1]. Это означает, что справедливо равенство