российская федерация

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

“ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

Александрова е.В., Павлова т.А., Зубова и.И. Дифференциальные уравнения

Учебно-МЕТОДИЧЕСКоЕ пособие для практических занятий И самостоятельной работы студентов аграрных вузов иНЖЕНЕРНЫХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

Орел – 2007

Дифференциальные уравнения. Учебно-методическое пособие для практических занятий и самостоятельной работы студентов аграрных вузов инженерных специальностей / сост.: Е.В. Александрова, Т.А. Павлова, И.И. Зубова. Изд. 1-е. – Орел, изд-во Орел ГАУ, 2007. – 105с.

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математического анализа и дифференциальных уравнений Орловского государственного университета Зарубин А.Н.

доктор технических наук, доцент, зав. кафедрой математики Орловского государственного аграрного университета Моисеенко А.М.

Предлагаемое учебно-методическое пособие предназначено для самостоятельной работы студентов, а также преподавателей при проведении практических занятий по математике.

© Издательство Орел ГАУ, 2007

Содержание

1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными 7

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка 9

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 12

3. 1. Метод вариации произвольной постоянной 12

3. 2. Решение линейных уравнений первого порядка с помощью подстановки 13

4. Дифференциальное уравнение Бернулли 17

5. Уравнения в полных дифференциалах 18

6. Метод изоклин 21

6.1. Геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка 23

7. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 25

7. 1. Первый тип. Уравнения, содержащие только производную порядка n и независимую переменную 25

7. 2. Второй тип. Уравнения, не содержащие искомой функции 25

7. 3. Третий тип. Уравнения, не содержащие независимой переменной 25

8. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 28

8.1. Метод неопределенных коэффициентов 28

8.2. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) 34

9. Задачи механики и физики, приводящие к составлению и решению дифференциальных уравнений 36

10. Расчетные задания 79

11. Литература 111

Введение

Учебно-методическое пособие «Дифференциальные уравнения» предназначено для студентов инженерных специальностей сельскохозяйственных вузов и составлено с таким расчетом, чтобы им можно было пользоваться при подготовке к модулю по данной теме, решению расчетно-графических работ, а также вырабатывать умение применять полученные знания при решении задач практичекого содержания.

Настоящее учебно-методическое пособие поможет студентам:

Цель настоящего учебно-методического пособия в том, чтобы активизировать процесс обучения, повысить его эффективность. Перед каждой отдельной группой задач содержатся основные положения теории, указаны основные методы их решений. Типовые задачи имеют подробные решения с полным анализом.