Формирование разрешенных кодовых комбинаций
Сформировать разрешенные кодовые комбинации для линейного избыточного кода с параметрами:
Число информационных символов k=5,
Минимальное кодовое расстояние dmin=4.
Решение
Число информационных символов k=5 с одной стороны определяет размерность единичной подматрицы производящей, а с другой стороны определяет число возможных РКК.
Для рассматриваемого задания dmin=4. Минимальное и достаточное количество проверочных символов r=5 (b1,b2,b3,b4,b5). Это минимальная разрядность проверочных символов, поскольку при 5 разрядах единичной подматрицы и 5 разрядах в проверочной подматрице число кодовых комбинаций, содержащих не менее 4 единиц, равно 5. Этого числа строк как раз хватает для формирования производящей матрицы в соответствии выше приведенными условиями.
Если ограничится четырьмя проверочными символами, то они позволяют сформировать всего одну комбинации в подматрице проверочных символов, чего недостаточно для дополнения ими линейной части подматрицы (чтобы сформировать квадратную производящую матрицу).
Таким образом, производящая подматрица для формирования РКК имеет вид:
Как видно, общая длина избыточного кода равна 10 разрядам (5+5), а производящая матрица имеет размерность и записывается как G(10,5), что соответствует пяти разрядам информационных символов и общему числу разрядов 10. То есть проверочных разрядов в кодовой комбинации будет r=5. Общее число кодовых комбинаций, которые можно сформировать этим 10 – разрядным кодом:
М0=2n =2(k+r)=2(4+5)=210=1024.
Среди них разрешенных будет: Мр=2k =25=32.
Всевозможные РКК формируются следующим образом:
1. Все строки производящей матрицы представляют собой разрешенные кодовые комбинации.
2. Все другие разрешенные кодовые комбинации образуются на основании производящей матрицы G путем суммирования по модулю «2» всевозможного сочетания ее строк.
3. Нулевая комбинация и комбинация, полностью составленная из единичных разрядов, относятся к разрешенным кодовым комбинациям.
Ниже приведен пример формирования 13 разрешенных кодовых комбинаций:
С 1 по 5 – это РКК из производящей матрицы
1. 1000000111
2. 0100001011
3. 0010001101
4. 0001010011
5. 0000110101
Шестая РКК образуется суммированием по модулю «2» первой и второй строк производящей матрицы G(10,5)
1000000111 (первое кодовое слово матрицы)
0100001011
(второе кодовое слово матрицы)
6. 1100001100 (результат суммирования по модулю «2» первой и второй кодовых слов).
Подобным образом получают и другие разрешенные кодовые комбинации, ниже приведены еще 12 РКК.
7. 1010001010 1 3
8. 1001010100 1 4
9. 1000110010 1 5
10. 0110000110 2 3
11. 0101011000 2 4
12. 0100111110 2 5
13. 0011011110 3 4
14. 0010001101 3 5
15. 0001100110 4 5
16. 1101011111 1 2 4
17. 1100111001 1 2 5
18. 1011011001 1 3 4