Изображение фигур пространства на чертеже

Д ля изображения фигур пространства на плоскости обычно пользуются параллельным проектированием.

Параллельную проекцию некоторого объекта в природе представляет, например, его тень, падающая на плоскую поверхность земли при солнечном освещении (лучи солнца можно считать параллельными). На рисунке изображена параллельная проекция рамы окна, освещенной солнечными лучами, на плоскость пола.

Параллельная проекция в геометрии: через все точки данной фигуры проводятся прямые, параллельные данному направлению, до пересечения с плоскостью (плоскостью проекции). Точки пересечения образуют изображение фигуры, ее проекцию на плоскость.

Изображение плоских фигур

На плоскости чертежа:

• Прямая изображается прямой.

• Отрезок изображается произвольным отрезком.

• Параллельные отрезки изображаются параллельными отрезками.

• Любой треугольник (в том числе равнобедренный, равносторонний, прямоугольный) изображается произвольным треугольником, т. е. разносторонним.

• Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат изображаются параллелограммом.

• Трапеция изображается трапецией.

• Окружность изображается эллипсом (эллипс  это овал).

Параллельность в пространстве

Параллельные прямые в пространстве

Определение. Параллельные прямые – это прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек (т. е. не пересекаются).

Признак параллельности прямых: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Т. е. если а с и b с, то а b.

Параллельность прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости: Если прямая не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Т. е. если a , b  и а b, то а .

Параллельность плоскостей

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей

Свойство 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Т. е. если   и  ∩  = а,  ∩  = b, то а b.

Свойство 2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Т. е. если ₁ ₂ и а b, то А₁А₂ = В₁В₂.

Вопросы и задачи

1. Как распознать параллельность прямых в пространстве?

2. Как распознать параллельность прямой и плоскости в пространстве?

3. К ак распознать параллельность плоскостей в пространстве? Параллельность прямых

4. П рямая EF, не лежащая в плоскости параллелограмма АВСD, параллельна стороне ВС. Докажите, что прямые EF и АD параллельны.

5. 1

   А

   ). Треугольник АВС и трапеция ABKP (АB – основание трапеции) не лежат в одной плоскости. Каково взаимное расположение прямых PK и MN, где MN – средняя линия треугольника ABC? 2 ). Параллелограмм АВСD и трапеция BCMN (BC – основание трапеции) не лежат в одной плоскости. Каково взаимное расположение прямых MN и АD?

6. Треугольники АВС и АDС лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Е – середина АВ, а F – середина ВС. Р – середина АD, а К – середина DС. а) Докажите, что EF PK. б) Каково взаимное положение прямых PK и АВ.