3. Контрольные карты Шухарта для и s в случае неравных объемов выборок

Иногда возникает ситуация, когда равные объемы выборок невозможны или нежелательны. Тогда центральная линия -карты задается взвешенным средним всех выборок. Для S-карты берут s_p, где S_p² — взвешенное среднее выборочных дисперсий. Соответ­ствующие формулы имеют вид

(1.3.8)

где n_i – объем i-й выборки, a s²_i – ее дисперсия. Если объемы не равны хотя бы приближенно, границы регулирования и S-карт меняются от выборки к выборке. Они равны:

ВГP = (1.3.9)

НГР= или c'₂S_p,

BГP= (1.3.10)

НГР =

где А_i, c'_2i, B'_2i и B'_4i зависят от объема i-й выборки.

Пример 1.3.3. Чтобы выяснить влияние обжига на устойчи­вость эмали, в течение месяца было подготовлено большое число идентичных выборок. Для каждой из них записывалась темпе­ратура обжига в градусах Фаренгейта. К сожалению, технолог, производящий обжиг, не получал каждый раз одинаковое число образцов. Поэтому объемы выборок в таблице 1.3.3 не равны.

Таблица 1.3.3 – Температура обжига (в градусах Фаренгейта)

Номер выборки	Объем		s2	s	Границы для		Границы для s
					НГР	ВГР	НГР	ВГР
1	8	1356	1281,06	35,8	1384,7	1444,3	9,7	77,2
2	10	1380	2570,36	50,7	1358,8	1439,2	13,6	74,0
3	12	1448	1901,10	43,6	1357,5	1435,5	16,4	71,6
4	7	1358	1384,21	37,2	1345,4	1447,6	7,1	79,3
5	10	1372	4035,24	63,5	1358,8	1439,2	13,6	74,0
6	6	1430	1672,04	40,9	1341,3	1451,7	3,8	81,8
7	8	1356	1354,60	36,8	1348,7	1444,3	9,7	77,2
8	6	1426	643,08	25,4	1341,3	1451,7	3,8	81,8
9	5	1444	3418,54	58,5	1336,1	1456,9	0	85,1
10	12	1404	1608,98	40,1	1357,5	1435,5	16,4	71,6

Столбцы 3 и 4 этой таблицы вычислены по результатам 10 выборок. Предполагалось, что последние различаются только интервалом времени, когда проводился обжиг.

Константы контрольных карт и S равны

= 1396,5°

для -карты ( - взвешенное среднее)

s²_p = 2027; 9178;

s_p = 45,03°;

=c'₂S_p =0,967×45,03 = 43,54°

для S-карты.

Границы -карты вычисляются отдельно для каждого объема выборки по формуле где A_i зависит от объема. Они приведены в таблице 1.3.3 и нанесены на рисунок 1.3.4. На рисунке 1.3.5 показана S-карта для случая разных объемов выборок. Поскольку ошибки небольшие, центральная линия может быть одна, но c'_2iS_i вычисляются отдельно для каждой выборки. Значение с'₂ (= 0,967) соответствует среднему объему выборки, равному 8,4. Заметим, что выходит за границы, но все значения s_i - лежат между границами. Это свидетельствует о больших колебаниях в резуль­татах изо дня в день при незначительных вариациях среднего квадратического отклонения.

Рисунок 1.3.4 – Контрольная -карта для температуры обжига (°F)

Рисунок 1.3.5 – Контрольная S-карта для температуры обжига (°F)