2. Объем, частота взятия и количество выборок

При построении контрольных карт для управления процессами кроме рассмотренного в предыдущем разделе порядка определения положения ЦЛ, контрольных и предупредительных границ необходимо также определить объем, частоту отбора и количество выборок. Поскольку никаких строгих критериев определения этих характеристик выборок не существует, то следует ограничиться изложением общих соображений.

Частота (периодичность) взятия выборок должна обеспечивать возможность своевременного обнаружения выхода процесса из статистически управляемого состояния и оперативного принятия необходимых корректирующих воздействий на процесс. Частоту взятия выборок, как правило, определяют интуитивно, с учетом специфики контролируемого процесса, реальной возможности взятия выборок через определенный промежуток времени, скорости разладки процесса, возможных последствий изменения состояния процесса и других факторов. Кроме того, необходимо учитывать также экономические соображения: расходы на контроль, потери, обусловленные изготовлением несоответствующей продукции и т.д. Нередко бывает целесообразным при установлении частоты взятия выборок учитывать опыт и мнение персонала, обслуживающего процесс.

Следует отметить, что частота взятия выборок и их объем могут изменяться в ходе осуществления управления процессом с помощью контрольных карт. На этапе первоначального обследования процесса на основе частых выборок делают обоснованное заключение о состоянии контролируемого процесса. После того как процесс стабилизируется, частота взятия выборок может быть снижена. Как правило, выборки большого объема используют для обнаружения незначительных сдвигов процесса, а более частые выборки малого объема применяют для своевременного обнаружения значительных сдвигов процесса.

Что касается количества выборок, используемых при построении контрольной карты, то оно должно быть достаточным, чтобы все основные причины изменчивости процесса могли проявиться. Обычно 25 или более выборок оказывается достаточным для проверки состояния процесса и оценки его настройки и разброса.

3. Контрольные карты по количественному признаку

   1. Основные виды контрольных карт по количественному признаку.

и R-карты

Предположим, что последовательно берутся выборки объема п, и для каждого входящего в них элемента измеряется характе­ристика х. Для всех выборок вычисляются среднее арифмети­ческое и размах варьирования R наблюдаемых значений. Обо­значим эти величины для i-й выборки через и R_i. Значения откладываются на одной карте, R_i - на другой. Арифметиче­ское среднее всех R, , умноженное на константу, зависящую от объема выборки, используется затем как оценка .Эта величина в свою очередь добавляется к общему среднему и вычитается из него. В результате получаются границы регули­рования для -карты: ± (оценка ).

Предположим для определенности, что данные представлены в форме таблицы 1.3.1.

Таблица 1.3.1 - Данные для - и R-карт

Номер выборки	Измерения	Среднее	Размах
1	x11x12x13….x1n	1	R1
2	x21x22x23….x2n	2	R2
3	x31x32x33….x3n	3	R3
·	……………………….	.	.
·	……………………….	.	.
·	……………………….	.	.
k	xk1xk2xk3….xkn	k	Rk

По k выборкам объема п вычислим оценку математического ожидания совокупности Е (X):

(1.3.1)

Этой оценке соответствует так называемая центральная линия ( ) - карты. Границами регулирования -карты часто служат оценки , отложенные вверх и вниз от , но иногда приме­няются 100(1 – α)%-ные границы, где α обычно равно 0,01 или 0,05. Для получения границ была рассчитана таблица вели­чин А_г, зависящих от объема выборки и таких, что A₂ — оценка . Верхняя и нижняя границы регулирования для - карт равны:

±A₂ , (1.3.2)

где = .

При построении -карты предполагают, что 1) х _i1, х_iг, ... ..., х_in,- случайные независимые нормально распределенные как N (θ_i , σ_i) величины и 2) все равны. Если распределение х_ij-не является нормальным, результатами все-таки можно пользо­ваться, поскольку и в этом случае распределение близко к нормальному. Гораздо важнее нарушение предположений о случайности и независимости. Можно рассматривать - карту с точки зрения процедур проверки гипотез, тогда нулевая гипо­теза состоит в том что

H₀:θ₁ = θ₂= ... =θ_k = заданному значению, (1.3.3)

причем для стандартных границ, приведенных в Приложение 1, ошибка первого рода α равна 0,003.

С помощью этой таблицы можно получать не только 3σ – границы, но и любые другие. На­пример, при α = 0,05 верхняя и нижняя границы регулирования (ВГР и НГР) вычисляются по формуле:

(1.3.4)

где ±1,96 – верхнее и нижнее 2,5%-ные критические значения нормированного нормального распределения N (0, 1).

Оценка математического ожидания R, т. е. величина ,для карты размаха равна:

, (1.3.5)

и 3σ – границы составляют:

и

где D₃ и D₄, как и выше, зависят от принятых предположений и объема выборки.

Пример 1.3.1. В таблице 1.3.2 приведены закодированные измерения сопротивления сжатию цементных образцов. Даны отклонения от 5200 фунт/дюйм²; единичное отклонение соответствует 25 фунт/дюйм². Выборки делались пять раз в день через случайные интервалы в течение 25 последовательных дней.

Таблица 1.3.2 - Сопротивление сжатию (отклонения от 5200 фунт/дюйм² )

Номер выборки	(Выборочное измерения)× 25-1фунт/дюйм2					Статистика
	x1	x2	x3	x4	x5		R	s2	s
1	1	-1	-2	2	0	0	4	2,50	1,58
2	-2	0	-2	2	0	-0,4	4	2,80	1,67
3	0	0	1	-1	3	0,6	4	2,30	1,52
4	1	2	-1	2	-2	0,4	4	3,30	1,82
5	2	1	-1	1	0	0,6	3	1,30	1,14
6	2	-1	2	-1	0	0,4	3	2,30	1,52
7	-2	-1	0	-2	0	-1,0	2	1,00	1,00
8	1	1	0	1	-1	0,4	2	0,80	0,89
9	0	-2	1	-1	4	0,4	6	5,30	2,30
10	-1	-1	0	-2	1	-0,6	3	1,30	1,14
11	1	-1	2	-1	0	0,2	3	1,70	1,30
12	2	2	-1	-1	0	0,4	3	2,30	1,52
13	0	-2	2	-2	0	-0,4	4	2,80	1,67
14	0	-1	1	-1	2	0,2	3	1,70	1,30
15	-3	0	0	0	-1	-0,8	3	1,70	1,30
16	0	-1	0	1	2	0,4	3	1,30	1,14
17	3	1	-3	-2	0	-0,2	6	5,70	2,39
18	-1	-2	-1	-1	0	-1,0	2	0,50	0,71
19	0	0	0	1	1	0,4	1	0,30	0,55
20	0	-5	2	2	0	-0,2	7	8,20	2,86
21	2	-1	1	0	0	0,4	3	1,30	1,14
22	0	0	-3	2	-3	-0,8	5	4,70	2,17
23	3	1	4	-2	-1	1,0	6	6,50	2,55
24	1	-3	0	1	-1	-0,4	4	2,80	1,67
25	-1	0	1	0	1	0,2	2	0,40	0,63
Итого						+0,2	90

Столбцы и R таблицы 1.3.2 содержат выборочные средние и размахи. Соответствующие карты изображены на рисунках 1.3.1 и 1.3.2.

Рисунок 1.3.1 – Контрольная -карта для сопротивления сжатию

Рисунок 1.3.2 – Контрольная R – карта для сопротивления сжатию

Центральные линии и границы регулирования для этих карт вычисляются по формулам (1.3.1), (1.3.2), (1.3.5) с помощью Приложения 1.

Для -карты эти величины равны:

НГР = 0,008 - 0,577 ( ) = 0,008 - 2,077 = - 2,069,

ВГР = 2,085;

для R - карты

НГР = = 0;

ВГР = = 2,115×3,60 = 7,61;

где и R_i — среднее арифметическое и размах варьирования i-й выборки.

Из рисунка 1.3.1 и 1.3.2 видно, что процесс статистически управ­ляем. При оценивании σ можно воспользоваться величиной A₂ , равной . Для выборки объема 5 получим

или .

Поскольку процесс протекает стабильно, можно предположить, что дисперсия средних значений выборок (дисперсия между вы­борками) равна нулю. Тогда получаем другую оценку σ:

(Столь тесная близость значений и s, разумеется, случайна.) Последняя формула применима только тогда, когда можно предположить отсутствие разброса средних значений выборок.

2. S-карты

S-карта для выборочного среднего квадратического откло­нения более чувствительна к изменению рассеяния, чем R-карта. На практике она применяется реже последней, поскольку требует более сложных вычислений, в ходе которых могут появляться ошибки. При построении этой карты получается объеди­ненная оценка дисперсии совокупности по k выборкам:

, где . (1.3.6)

Если объемы выборок одинаковы, формула для оценки дисперсии имеет более простой вид:

Центральная линия и 3σ-границы получаются с помощью таблице 1.3.2:

= c'₂s_p,

НГР = (1.3.7)

BГP=

В Приложение 1 приведены также значения с₂, В₂ и B₄. К ним обращаются, когда применяют смещенную оценку дисперсии

,

что часто делается в работах по контролю качества.

Пример 1.3.2. Вычислим по данным таблицы 1.3.3 s²_p - оценку σ². В предпоследнем столбце таблицы приведены значения s²_i. Следовательно,

s_p= 1,610.

Центральная линия контрольной S-карты (рисунок 1.3.3) описывается выражением :

,

а нижняя и верхняя границы регулирования вычисляются по формуле (1.3.7):

НГР = 0;

ВГР = 1,889×1,61 = 3,04.

Рисунок 1.3.3 – Контрольная S-карта для сопротивления сжатию

(для кодированных данных)

Заметим, что выборка с номером 20 близка к ВГР. То же самое наблюдалось и на карте размаха. Рисунки 1.3.2 и 1.3.3, как и следовало ожидать, похожи. Впрочем, S-карта более чувствительна к изменениям рассеяния, зато построение R-карты связано с более простыми вычислениями.