5. Контрольные карты кумулятивных сумм

Другая форма контрольных карт, получившая широкое при­менение в последние 20 лет — контрольная карта накопленных сумм (ККНС). Она имеет несколько иное назначение, чем карта Шухарта, и более чувствительна, чем последняя, к скачкообраз­ным изменениям параметров процесса (в отличие от постепенного тренда). Относительная стоимость ККНС (измеряемая числом необходимых наблюдений) ниже, чем у карты Шухарта, но не при всех значениях α и не для всякого изменения среднего зна­чения процесса. Это становится понятным при рассмотрении сред­ней длины серии (СДС) — среднего числа наблюдений, необходи­мых для обнаружения заданного изменения характеристик про­цесса.

Разработка ККНС связана с работами Е. С. Пейджа, Дж. А. Бернарда, П. Голдсмита и X. Уайтфилда.

Довольно подробное описание ККНС с несколькими не очень строгими доказательствами дано в трех работах Н. Джонсона и Ф. Лиона, опубликованных в журнале Industrial Quality Control. Полезное и более детальное изложение дано де Брюном.

Можно лучше понять ККНС, если рассматривать ее как последовательную выборочную, применяемую в обратном порядке. Вывод формул для критических значений и границ регулирования ККНС основан на последовательном критерии отношения вероятностей. В этом разделе описаны ККНС для средних, дисперсий, размахов, пр и с. Для каждой из них будут приведены правила построения шаблонов и границ регули­рования.

Отличительная особенность ККНС состоит в том, что нане­сенные на карту точки не соответствуют отдельным наблюдениям или статистикам, вычисленным по одной выборке. Все они, начи­ная с исходной, дают информацию о наблюдениях от первого до текущего включительно. В каждом рассматриваемом здесь вари­анте ККНС ордината наносимой в данный момент точки равна ординате текущего наблюдения плюс значение статистики, вычис­ленной по предшествующей выборке.

1. Ккнс для среднего

Опять обозначим среднее значение i-й выборки объема п через . На контрольную карту наносятся точки с координатами (т, Y_m), где т-номер выборки и

(1.5.1)

μ₀ равно предполагаемому "нормативному среднему". Для интер­претации карты на нее накладывается шаблон (заштрихованная часть рисунка 1.5.1), причем точка О должна совпадать с послед­ней точкой, нанесенной на карту, а линия ОР должна быть гори­зонтальной. Считается, что процесс статистически неуправляем, если какие-либо точки ККНС оказываются накрытыми шаблоном. Если они лежат ниже прямой А₁В₁ говорят об увеличении среднего процесса, если выше А_-1В_-1 – об уменьшении. (Для каждой карты выбирается свой масштабный коэффициент, o нем будет сказано несколько ниже.)

Рисунок 1.5.1 – Шаблон контрольной карты накопленных сумм для средних значений

При определении размеров шаблона нужно вычислить вели­чину 2θ угла В_-1РВ₁ и расстояние d от О до вершины Р этого угла на рисунке 1.5.1. Сначала следует выбрать вероятности ошибок первого и второго рода. (Если величина β очень мала, например меньше 0,01, ее можно исключить из формулы.) Приближенные формулы для θ и d имеют вид

(1.5.2)

ОР= ln

где ,a D – минимальный сдвиг (в любом направлении), который желательно выявить почти наверное (с вероятностью или мощностью 1 – β).

Вероятность ошибки первого рода для двустороннего критерия обозначена здесь через 2α, а для одно­стороннего критерия – через α.

Процедура применения ККНС для средних состоит из сле­дующих этапов:

1. Задать величины α (или 2α) и D.

2. Вычислить θ и α по формулам (1.5.2).

3. Нанести последовательные точки Y_т, всякий раз передви­гая шаблон.

4. Принять одно из трех решений:

а) продолжать проверку;

б) признать наличие смещения μ₀ + D;

в) признать на­личие смещения μ₀ - D.

Если имеющихся знаний недостаточно для теоретического выбора значений параметров формул типа (1.5.2), можно полу­чить границы методом проб и ошибок, как было предложено Дж. Бернардом.

Если величина σ (и, следовательно, ) не известна к началу испытаний, ее можно оценить по формуле

где s_i² – дисперсия i-й выборки, а т — количество выборок. Если число степеней свободы v= т(п — 1) больше, чем 30 или 40, эту оценку s_p можно считать надежной.

Вместо того, чтобы вычислять значения θ и d, можно воспользоваться таблицей 1.5.1. Из нее сразу берутся значения θ и d для определенных δ и α.

Таблица 1.5.1 - Границы регулирования контрольной карты накопленных сумм для выборочных средних

δ	θ	Значение d
		2α=0,101	2α=0,05	2α=0,02	2α=0,01	2α=0,0027	2α=0,002	2α=0,001
		α=0,052	α=0,025	α=0,01	α=0,005	α=0,001353	α=0,001	α=0,0005
0,2	5°43´	149,8	184,4	230,6	264,9	330,4	345,4	380,0
0,4	11°19´	37,4	46,1	57,6	66,2	82,6	86,3	95,0
0,6	16°42´	16,6	20,5	25,6	29,4	36,7	38,4	42,2
0,8	21°48´	9,36	11,5	14,4	16,6	20,6	21,6	23,8
1,0	26°34´	5,99	7,38	9,21	10,6	13,2	13,8	15,2
1,2	30°58´	4,16	5,12	6,40	7,36	9,18	9,59	10,6
1,4	35°0´	3,06	3,76	4,70	5,41	6,74	7,05	7,76
1,6	38°40´	2,34	2,88	3,60	4,14	5,16	5,40	5,94
1,8	41°59´	1,85	2,28	2,84	3,27	4,08	4,26	4,69
2,0	45°0´	1,50	1,84	2,30	2,65	3,30	3,45	3,80
2,2	47°44´	1,24	1,52	1,90	2,19	2,73	2,85	3,14
2,4	50°12´	1,04	1,28	1,60	1,84	2,29	2,40	2,64
2,6	52°26´	0,89	1,09	1,36	1,57	1,95	2,04	2,25
2,8	54°28´	0,76	0,94	1,17	1,35	1,69	1,76	1,94
3,0	56°19´	0,67	0,82	1,02	1,18	1,47	1,54	1,69

1) двусторонний критерий,

2) односторонний критерий, 3) эти величины соответствуют 3σ- границам на карте Шухарта, т.е. 2α=0,0027 и α=0,00135.

Вычисление размеров шаблона теряет смысл, если не учиты­вать масштабный коэффициент. Здесь есть отличие от карты Шухарта, для которой важен только масштаб по вертикальной оси. Пусть k единиц ординаты равны одной единице абсциссы. Тогда уравнения для θ* и d* имеют вид

θ*

d* = (1.5.3)

Значения θ* и d* можно получить из таблицы 1.5.1. При этом к таблице 1.5.1 следует обращаться дважды:

1) Взять θ* из строки, которой в столбце δ соответствует зна­чение D/k.

2)Взять значение d* из строки δ и столбца, соответствую­щего заданному значению α или 2α.

Пример 1.5.1. В таблице 1.5.2 приведены данные.

Таблица 1.5.2 – Суммарные высоты оснований осколочных бомб (Выборки объема 5)

Номер выборки	X	х- 0,831	%,=2(«,-0,831)	R
1	0,8324	0,0014	0,0014	0,014
2	0,8306	-0,0004	0,0010	0,008
3	0,8262	-0,0048	-0,0038	0,020
4	0,8326	0,0016	-0,0022	0,004
5	0,8290	-0,0020	-0,0042	0,013
6	0,8316'	0,0006	-0,0036	0,013
7	0,8336	0,0026	-0,0010	0,012
8	0,8310	0,0000	-0,0010	0,020
9	0,8336	0,0026	0,0016	0,010
10	0,8306	-0,0004	0,0012	0,011
11	0,8302	-0,0008	0,0004	0,018
12	0,8258	-0,0052	-0,0048	0,006
13	0,8280	-0,0030	-0,0078	0,016
14	0,8264	-0,0046	-0,0124	0,023
15	0,8292	-0,0018	-0,0142	0,003
16	0,8228	-0,0082	-0,0224	0,025

Они представляют собой последовательность измерений высот оснований осколочных бомб с точностью до тысячной доли дюйма. В исходные данные были внесены следующие изменения: первые десять выборок объема 5 остались прежними; средние значения каждой из следующих шести выборок были уменьшены на 0,003. Это было сделано для демонстрации работы шаблона. В таблице приведены порядковые номера выборок, средние выборок объема 5, отклонения от предполагаемого среднего значения 0,831, накоп­ленные суммы отклонений и размахи R.

Для расчета размеров шаблона сначала выбираем D и α. Пусть D равняется одному среднему квадратическому отклоне­нию среднего, а α = 0,00135 (как в обычной карте Шухарта для средних с 3σ-границами). Пусть σ_x = 0,0054. (Эту величину можно вычислить по выборкам или считать известной.) Имеем:

D= σ_x = = 0,0024; α = 0,00135;

K = 0,002 (масштабный коэффициент), δ = 1. Применение формул (1.5.3) дает

d* = d = - 2 (In 0,00135)= 13,215;

θ* = arctg =arctg = 30°58'.

Заметим, что в таблице 1.5.1 d* = 13,2 (строка δ = 1) и θ* = 30°58' (строка δ = D/k = 1,2).

В результате получаем шаблон, показанный на рисунке 1.5.1. Если выбрать другое α, угол θ* останется прежним, а расстоя­ние d* изменится.

На рисунке 1.5.1 изображены границы регулирования, соответ­ствующие 3σ, 2,36σ (α = 0,01) и 2σ (α = 0,025).

Рисунок 1.5.2 – ККНС для выборочного среднего*

* Хотя на рисунке 1.5.1 величина Y_m определяется как , лучше использовать эту формулу. Значения и d* учитывают среднее квадратическое отклонение и масштабный коэффициент.

В этом примере последнее наблюдение вышло бы за границы и на обычной контрольной карте. Однако с помощью ККНС можно понять, в какой точке сместилось среднее значение про­цесса.