Реферат

По дисциплине: «Прикладная Математика»

Тема: «Математические операции с двоичными числами»

Студента I курса группы АТМ 141-Ф

Специальности 220415

Дубровца Максима Игоревича

1)Сложение (вычитание). Операция сложения (вычитания) производится в следующей последовательности.

1. Сравниваются порядки (характеристики) исходных чисел путем их вычитания р=р1-р2. При выполнении этой операции определяется, одинаковый ли порядок имеют исходные слагаемые.

2. Если разность порядков равна нулю, то это значит, что одноименные разряды мантисс имеют одинаковые веса (двоичный порядок). В противном случае должно проводиться выравнивание порядков.

3. Для выравнивания порядков число с меньшим порядком сдвигается вправо на разницу порядков Ар. Младшие выталкиваемые разряды при этом теряются.

4. После выравнивания порядков мантиссы чисел можно складывать (вычитать) в зависимости от требуемой операции. Операция вычитания заменяется операцией сложения в соответствии с данными табл. 2.3. Действия над слагаемыми производятся в ОК или ДК по общим правилам.

5. Порядок результата берется равным большему порядку.

6. Если мантисса результата не нормализована, то осуществляются нормализация и коррекция значений порядка.

Пример 2.13. Сложить два числа А10=+1.375; B10=-0.625.

А2=+1.011=0: 1011*101; B2=-0.101=-0:101*100.

В нормализованном виде эти числа будут иметь вид:

1. Вычитаем порядки Δp=p1-p2=1-0=1. В машине эта операция требует операции сложения с преобразованием порядка чисел в дополнительный код:

Определяем, что Δр≠ 0.

2. Порядок первого числа больше порядка второго числа на единицу. Требуется выравнивание порядков.

3. Для выравнивания порядков необходимо второе число сдвинуть вправо на один разряд.

[B2]исх=0: 0 1: 101

после сдвига

[B2]п=0: 11:0101

[mB]дк= 1: 1011

4. Складываем мантиссы.

Мантисса числа С - положительная.

5. Порядок числа С равен порядку числа с большим порядком, т.е. р = +1.

[С2]п=0: 1 0: 0110.

Видно, что мантисса результата не нормализована, так как старшая цифра мантиссы равна нулю.

6. Нормализуем результат путем сдвига мантиссы на один разряд влево и соответственно вычитаем из значения порядка единицу:

2)Выполнение арифметических операций с целыми числами, представленными машинными кодами. Для хранения чисел и выполнения различных операций над ними их представляют различными кодами: прямым, обратным и дополнительным. Основные отличия кодов чисел от самих чисел заключаются в следующем: разряды числа в коде жестко связаны с определенной разрядной сеткой; для записи кода знака в разрядной сетке отводится постоянно строго определенный разряд.

Код числа в форме с фиксированной точкой, состоящий из кода знака и двоичного кода его модуля, называется прямым кодом двоичного числа. Для его записи в разрядную сетку необходимо выполнить следующие операции:

 записать двоичный код целого числа;

 недостающие цифры старших разрядов двоичного кода заменить нулями с тем, чтобы все разряды разрядной сетки были заполнены;

 в старший разряд (8 – й или 15 – й) записать код знака: 0 – для положительного числа и 1 – для отрицательного числа.

Обратный и дополнительный коды применяются для кодирования только отрицательных чисел.

^ Правила образования обратного и дополнительного двоичных машинных кодов.

1. Положительное число в прямом, обратном и дополнительном кодах выглядят одинаково.

2. Прямой код отрицательных и положительных чисел имеет различное значение только в знаковом разряде, модуль числа не изменяется.

3. Обратный код двоичного отрицательного числа получается из прямого кода путем замены единиц на нули и нулей на единицы, только код знака оставить без изменения.

Пример. .

Х2 = +1101101 [Х2]пр = 0.1101101 [Х2]обр = 0.0010010

Х2 = -0101101 [Х2]пр = 1.0101101 [Х2]обр = 1.1010010

Здесь точкой отделяется знак числа (его код) от двоичного кода самого числа. Для простоты изложения рассматривается восьмиразрядная сетка.

4. Дополнительный код отрицательного числа получается формированием обратного кода отрицательного числа и прибавлением единицы к младшему разряду этого кода (перенос в знаковый разряд при этом теряется).

Пример:

3)Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются

по одним и тем же хорошо известным правилам.

1. Сложение.

Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит

таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0+0= 0

0+1= 1

1+0= 1

1+1=10

Единица переноса.

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит

переполнение разряда и производится перенос в старший разряд единицы. Переполнение

разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей

основания.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с

вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших

разрядов в старшие.

В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 1102 и 112 :

+ 1102

112

______

10012

Проверим правильность вычислений сложением в десятичной системе счисления.

Переведем двоичные числа в десятичную систему счисления и затем их сложим:

1102=1*22 + 1*21+ 0*20 = 610;

112 = 1*21 + 1*20 = 310;

610 + 310 = 910.

Теперь переведем результат двоичного сложения в десятичное число:

10012 = 1*23 +0*22 + 0*21 + 1*20 = 910

Например, сложение двух чисел 23,75 и 25,5 дает результат:

10111,11

+ 11001,10

___________

110001,01

Сложение трех чисел 365, 346 и 383

101101101

+101011010

101111111

____________

10001000110

.2. Вычитание.

В основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании

из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. При

вычитании необходимо помнить, что занятая в ближайшем старшем разряде единица дает

две единицы младшего разряда. Если в соседних старших разрядах стоят нули, то

приходится занимать единицу через несколько разрядов. При этом единица, занятая в

ближайшем значащем старшем разряде, дает две единицы младшего разряда и единицы во

всех нулевых разрядах, стоящих между младшим и тем старшим разрядом, у которого

бралась единица.

В таблице заем обозначен 1 с чертой:

0-0 =_0

0-1 =11

1-0 = 1

1-1 = 0

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с

вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов из старших разрядов.

В качестве примера произведем вычитание двоичных чисел 1102 и 112:

- 1102

112

____

112

Пример вычитания 174 из 197:

11000101

-10101110

_____________

00010111

8.3. Умножение.

В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

0*0 = 0

0*1 = 0

1*0 = 0

1*1 = 1

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с

вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной

системе счисления с последовательным умножением множимого на цифры множителя. В

качестве примера произведем умножение двоичных чисел:

x 1102

112

110

110

100102

Пример умножения 23,25 на 2,75:

10111,01

х 10,11

________

1011101

1011101

1011101

__________

111111,1111

8.4. Деление.

Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения

операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем

деление двоичного числа 1102 и 112:

-1102 112

11 102

0

Пример деления 430 на 10:

110101110 1010

-1010 101011

110<1010

1101

-1010

111<1010

1111

-1010

1010

-1010

0

Пример: разделить 9 на 4:

1001 100

-100 10,01

01<100

10<100

100

-100

0

Таким образом, при делении двух чисел, если очередное делимое больше делителя, в

частное записывается единица и к остатку от вычитания делителя из делимого сносится

очередная цифра делимого. Если же делимое меньше делителя, то в частное записывается

нуль и сносится очередной разряд делимого. Если сносится первая цифра дробной части делимого, то в частное заносится запятая.

4)Каждый разряд (цифра) двоичного числа представляется в компьютерах физическим элементом, обладающим двумя устойчивыми состояниями, одному из которых приписывается значение 0, а другому 1. Совокупность определенного количества этих элементов служит для представления многоразрядных двоичных чисел и составляет разрядную сетку или формат представления числовых данных.

В компьютерах, как и в математике, используется как естественная, так и нормальная формы записи чисел. Каждая из форм имеет определенные форматы для каждого типа компьютеров, составленные из целого количества байт. Длину формата данных измеряют в машинных словах или в количестве двоичных разрядов (бит). Так, для ПК слово - 2 байта, двойное слово - 4 байта.

Машинное полуслово для ПК

старший разряд 6 5 4 3 2 1 младший разряд

Естественная форма.

Естественную форму обычно называют представлением чисел с фиксированной запятой или точкой, положение которой строго устанавливается для правильных дробей - перед старшим разрядом, для смешанных дробей - в определенном месте, отделяющим целую и дробные части числа, для целых чисел - после младшего разряда.

В современных компьютерах естественная форма используется в основном для представления целых чисел.

Во всех форматах знак числа занимает место перед старшим разрядом и кодируется.

Достоинством естественной формы является простота и наглядность представления чисел, простота реализации алгоритмов операций, а следовательно, простота устройств и высокая степень выполнения операций.

Недостаток - ограниченный диапазон представления величин. Если результаты вычислений выходят за допустимые пределы, происходит переполнение разрядной сетки, что искажает результат. В машинах при этом вырабатывается запрос на прерывание или происходит автоматический переход к представлению данных в нормальной форме.

знак 214 213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20

0 - знак "плюс"

1 - знак "минус"

Знак от числа отделяется воображаемой точкой.

Оценим диапазон представления чисел в коротком формате - 2 байта.

|A|min = 1

|A|max = 215-1 = 32767

Нормальная форма.

Любое число в нормальной форме представляется в виде:

A = mAq PA

mA - мантисса числа A

q - основание системы счисления

PA - порядок

Мантисса числа должна удовлетворять условию: 1/q <= |m|<=1.

55,25 - естественная форма