- •Методы оптимизации. Тест
- •2.1). Что означает слово «оптимизация»? Какая функция называется целевой? Дать определение локального и глобального минимумов функции.
- •2.2). Сравнить необходимые количества вычисленных значений Nd и Nn функции f(X) при поиске ее точки минимума на отрезке длины 1 с точностью 10-5 методом деления отрезка пополам и методом перебора.
- •2.3). Сформулировать достаточные условия сходимости метода Ньютона.
- •2.4). Сформулировать необходимые и достаточные условия безусловного экстремума функции f(X) одной переменной.
- •2.5). Функции какого вида называются квадратичными функциями n переменных?
- •2.6). Какая нумерация вершин симплекса называется правильной? и 2.7). Не проходили
- •2.8). Дать определение общей задачи линейного программирования.
- •2.1). Что такое точная нижняя грань функции на множестве? Как соотносятся точная нижняя грань и минимум функции на множестве? Привести примеры.
- •2.3). Сформулировать достаточное условие монотонной сходимости метода Ньютона. Скорость сходимости метода.
- •2.5). Каким свойством обладает квадратичная функция с положительно определенной матрицей a?
- •2.8). Описать алгоритм сведения общей задачи к задаче в канонической форме линейного программирования. Привести пример.
- •2.1). Сформулировать условие Липшица для функции f(X) на отрезке [a;b]. Всякая ли функция f(X), удовлетворяющая условию Липшица на отрезке [a;b], унимодальна на нем?
- •2.2). Доказать, что погрешность определения точки минимума X* функции f(X) методом перебора не превосходит величины .
- •2.3). Сформулировать оценку погрешности определения минимума f* многомодальной функции методом перебора.
- •2.4). Классифицировать квадратичную форму и матрицу Гессе .
- •2.8). Какие задачи линейного программирования можно решить графически?
- •2.1). Сформулировать свойства функций, удовлетворяющих на отрезке [a;b] условию Липшица.
- •2.3). Сформулировать достаточные условия сходимости метода Ньютона.
- •2.4). Классифицировать квадратичную форму и матрицу Гессе .
- •2.5). Что такое скорость сходимости минимизирующей последовательности? Какие скорости сходимости вы знаете?
- •2.8). Дать определение общей задачи линейного программирования.
- •2.1). Какая функция называется унимодальной на отрезке [a,b]? Сформулировать свойства унимодальных функций.
- •2.2). Зависит ли точность определения X*, которую гарантируют методы дихотомии и золотого сечения в результате n вычислений функции f(X), от конкретной функции f(X)?
- •2.3). Сформулировать достаточное условие монотонной сходимости метода Ньютона. Скорость сходимости метода.
- •2 .4). Вычислить и нарисовать градиенты, а также вычислить матрицу Гессе функции в точках .
- •2.5). Когда говорят, что в итерационном процессе производится исчерпывающий спуск?
- •2.8). Дать определение канонической задачи линейного программирования.
- •2.1). Какая функция называется выпуклой на отрезке [a,b]? Каков геометрический смысл выпуклости функции? Сформулировать два необходимых и достаточных дифференциальных условий выпуклости функций.
- •2.2). Повысится ли эффективность метода поразрядного поиска, если шаг поиска ∆ последовательно уменьшать не в 4, а в какое-либо другое число раз? Ответ обосновать.
- •2.3). Модификации метода Ньютона (метод Ньютона-Рафсона, метод Марквардта). Достоинства и недостатки методов. Скорость сходимости.
- •2.4). Записать приращение функции f(X)∈c2(En) в точке X через градиент и матрицу Гессе.
- •2.5). Какие направления дифференцируемой в точке xk функции f(X) называются направлениями убывания? Каков геометрический смысл направления убывания?
- •2.8). Описать алгоритм графического решения задачи линейного программирования.
- •2.1). В чем заключается классический метод минимизации функций? Для каких целей разработан классический метод минимизации функций? Какова практическая ограниченность применимости этого метода?
- •2.2). Зависит ли точность определения X*, которую получают методом парабол в результате n вычислений функции f(X), от конкретной функции f(X)?
- •2.3). Увеличение используемого значения константы Липшица l при реализации метода ломаных приводит к замедлению сходимости метода. Объяснить этот факт с помощью геометрической иллюстрации.
- •2.4). Что такое градиент и антиградиент функции многих переменных и каков их геометрический смысл? Что такое матрица Гессе функции многих переменных?
- •2.5). Когда говорят, что сильно выпуклая функция f(X) имеет “овражный характер”? Какие задачи минимизации называются хорошо обусловленными, а какие − плохо обусловленными?
- •2.8). Какая задача оптимизации называется задачей линейного программирования?
2.5). Когда говорят, что сильно выпуклая функция f(X) имеет “овражный характер”? Какие задачи минимизации называются хорошо обусловленными, а какие − плохо обусловленными?
Число обусловленности для симметрической положительно определенной матрицы равно lL/=μ − отношению наибольшего и наименьшего собственных значений матрицы. Эта величина для матрицы вторых производных (гессиана) характеризует степень вытянутости линий уровня f(x)=C.
Если μ велико, то линии уровня сильно вытянуты и говорят, что функция имеет овражный характер, т.е. резко меняется по одним направлениям и слабо − по другим. В этих случаях задачу минимизации называют плохо обусловленной. Если же число μ близко к единице, то линии уровня близки к окружностям и задача минимизации является хорошо обусловленной.
2.8). Какая задача оптимизации называется задачей линейного программирования?
Задача нахождения экстремума линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и равенств, называется задачей линейного программирования.
Общей (основной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции (целевая функция) при выполнении условий: - ограничения данной задачи.
Канонической задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального значения функции (целевая функция) при выполнении условий
, где k=0 b l=n - ограничения данной задачи.
Вектор X=(x1, x2,…,xn)T, удовлетворяющий ограничениям задачи, называется допустимым решением, или планом. План X*=(x1*, x2*,…,xn*)T, при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.