2.4). Записать приращение функции f(X)∈c2(En) в точке X через градиент и матрицу Гессе.

С помощью градиента и матрицы Гессе, используя разложение в ряд Тейлора, приращение функции f(x) может быть записано в форме: , где - сумма всех членов разложения, имеющих порядок выше второго, - квадратичная форма.

2.5). Какие направления дифференцируемой в точке xk функции f(X) называются направлениями убывания? Каков геометрический смысл направления убывания?

Направление вектора p^k называется направлением убывания функции f(x) в точке x^k, если при всех достаточно малых положительных α выполняется неравенство .

Теорема (достаточное условие направления убывания). Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x^k. Если вектор p^k удовлетворяет условию , то направление вектора p^k является направлением убывания.

• Функция диффер. при всех достаточно малых α>0, т.е. вектор p^k задает направление убывания функции f(x) в точке x^k.

2.8). Описать алгоритм графического решения задачи линейного программирования.

Вариант 8

2.1). В чем заключается классический метод минимизации функций? Для каких целей разработан классический метод минимизации функций? Какова практическая ограниченность применимости этого метода?

Алгоритм минимизации f(x) на отрезке [a,b] классическим методом:

1). Находим все точки возможного экстремума функции f(x) на интервале (a,b), т.е. корни уравнения f’(x)=0.

2). Вычисляем значения f(x) во всех найденных точках.

3). Наименьшему из вычисленных значений соответствует точка глобального минимума f(x) на [a,b].

Т.к. из условия локального экстремума функции f(x), дифференцируемой достаточное количество раз для поиска точки глобального минимума требуется вычисление высших производных функции f(x), в большинстве случаев бывает проще сравнить значения во всех стационарных точках, не интересуясь их характером. С учетом этого разработан классический метод минимизации функций.

2.2). Зависит ли точность определения X*, которую получают методом парабол в результате n вычислений функции f(X), от конкретной функции f(X)?

2.3). Увеличение используемого значения константы Липшица l при реализации метода ломаных приводит к замедлению сходимости метода. Объяснить этот факт с помощью геометрической иллюстрации.

2.4). Что такое градиент и антиградиент функции многих переменных и каков их геометрический смысл? Что такое матрица Гессе функции многих переменных?

Градиентом непрерывно дифференцируемой функции f(x) в точке x называется вектор-столбец, элементами которого являются частные производные первого порядка, вычисленные в данной точке. Вместе с градиентом можно определить вектор антиградиента, равный по модулю вектору градиента, но противоположный по направлению.

Геометрический смысл: градиент (антиградиент) функции направлен по нормали к поверхности уровня, т.е. перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в точке x, в сторону наибольшего возрастания (убывания) функции в данной точке.

Матрицей Гессе H(x) дважды непрерывно дифференцируемой в точке x функции f(x) называется матрица частных производных второго порядка, вычисленных в данной точке. Матрица Гессе является симметрической размера nxn.