2.4). Классифицировать квадратичную форму и матрицу Гессе .

1. Выпишем квадратичную форму – квадратичная форма положительно определена → H(x)>0

2. Выпишем квадратичную форму

– квадратичная форма положительно определена → H(x)>0

2.5). Что такое скорость сходимости минимизирующей последовательности? Какие скорости сходимости вы знаете?

Линейная скорость сходимости: последовательность {x_k} сходится к точке x* линейно (со скоростью геометрической прогрессии), если существует такое число , что выполняется неравенство

.

Сверхлинейная скорость сходимости:

Квадратичная скорость сходимости: .

2.8). Дать определение общей задачи линейного программирования.

Линейное программирование − математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных неравенств и равенств.

Общей (основной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения функции (целевая функция) при выполнении условий: - ограничения данной задачи.

Вектор X=(x₁, x₂,…,x_n)^T, удовлетворяющий ограничениям задачи, называется допустимым решением, или планом. План X*=(x₁*, x₂*,…,x_n*)^T, при котором целевая функция принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.

Вариант 6

2.1). Какая функция называется унимодальной на отрезке [a,b]? Сформулировать свойства унимодальных функций.

Функция f(x) называется унимодальной на отрезке [a,b], если она непрерывна на [a,b] и существуют числа α и β, a≤α≤β≤b, такие, что:

1) если a<α, то на отрезке [a,α] функция f(x) монотонно убывает;

2) если β<b, то на отрезке [β,b] функция f(x)монотонно возрастает;

3) при x∈[α,β] выполняется .

Свойства унимодальных функций:

1. Любая из точек локального минимума унимодальной функции является и точкой ее глобального минимума на отрезке [a,b].

2.Функция, унимодальная на отрезке [a,b], унимодальна и на любом меньшем отрезке [c,d]⊂[a,b].

3. Пусть f(x) унимодальна на [a,b] и a≤x₁≤x₂≤b. Тогда если f(x₁)≤f(x₂), то x*∈[a,x₂]; если f(x₁)>f(x₂), то x*∈[x₁,b];

Где x* − одна из точек минимума f(x)на отрезке [a,b].

2.2). Зависит ли точность определения X*, которую гарантируют методы дихотомии и золотого сечения в результате n вычислений функции f(X), от конкретной функции f(X)?

Точность определения x* в методе дихотомии: ;

Точность определения x* в методе золотого сечения: ;

Эти методы основаны на последовательном уменьшении длины отрезка, внутри которого находится минимум. Поэтому точность нахождения координаты минимума не зависит от вида функции.

2.3). Сформулировать достаточное условие монотонной сходимости метода Ньютона. Скорость сходимости метода.

x*∈[a;b] и f(x) трижды непрерывно дифференцируемая и выпуклая на отрезке функция. Ясно, что итерационная последовательность {x_k} будет сходиться к пределу x* монотонно, если . Разложим в ряд Тейлора: , где точка x∈[x*,x_k] (ост член в форме Лагранжа). С учетом формулы имеем

Т.е. достаточным условием монотонной сходимости метода Ньютона является постоянство в диапазоне x∈[x*,x₀] знака производной f’’’(x) и совпадение его со знаком f’(x₀). При этом квадратичная скорость сходимости не гарантируется. Если кроме того, выполняется условие , то скорость сходимости метода Ньютона становится квадратичной.