A*f #«'

\а> Земля (Вид вдоль оси вращения)

Рис. 13.1. Взаимное движение Земли и Луны. Вращение происходит вокруг точ­ки О с частотой to, L' — 4670 км

Рис. 13.2. Физическое обоснование су­ществования суточных и полусуточных приливов. Упрощенное объяснение равно­весного прилива при нахождении Луны в плоскости экватора Земли. В точке Р рав­ные приливы наблюдаются 2 раза в сут­ки— полусуточные приливы, (а). Обычно Луна не лежит в экваториальной пло­скости Земли. Поэтому приливы в точке Р возникают 1 раз в сутки — суточные при­ливы, (б)

Приливы, индуцируемые Луной. Земля и Луна вращаются в космическом пространстве вокруг друг друга (рис. 13.1), но так как масса Земли примерно в 100 раз больше массы Луны, то движение Луны более очевидно. Центр этого вращения нахо­дится в точке О, для которой справедливо соотношение ML = = M'L'. Таким образом,

U = MD /(М' + М). (13.1)

Так = 4670 км, а средний радиус Земли равен 6371 км, то центр О лежит внутри земного шара.

Отстояние Луны от Земли поддерживается за счет равенства гравитационного взаимодействия и центробежной силы. Если обозначить гравитационную постоянную G, то

GMM'/D² = M'L'o)² = М Lid². (13.2)

321

323

Рис. 13.3. Сравнение трех различ­ных «суток», наблюдаемых с Земли: звездные и солнечные сутки (а); звезд­ные и лунные сутки (б). Солнечные сутки длятся 24 ч, звездные — несколь­ко дольше, лунные — несколько короче.

Масштабы не соблюдены

дол ж ител ьность сол неч ных суток t_Sy определяется как интервал, осредненный за весь год. Это и есть в точно­сти 24 ч, т. е. /$ = 86 400 с.

Звездные сутки — по­добным образом рассчитан­ный средний интервал между последовательными прохождениями «фиксиро­

ванной звезды», т. е. настолько удаленной, что ее видимое сме­щение по отношению к Земле пренебрежимо мало. Звездные сутки — величина, наиболее точно определяющая период враще­ния Земли как бы удаленным наблюдателем.

Из рис. 13.3,а видно, как различие между t_s и f связано с движением Земли вокруг Солнца (период T_s = 365,256 /_s). Предположим, что в полдень какого-то известного дня центр Земли Е_у точка А на земной поверхности, Солнце S и некото­рая фиксированная звезда находятся на одной линии. По исте­чении солнечных суток Солнце, точка А и центр Земли снова оказываются на одной линии. В то же время точка Е смещается на угол 01 относительно Солнца в положение £'. Так как t_s есть продолжительность средних солнечных суток, то с целью сохранения периода мы можем представить Землю движущей­ся строго по круговой орбите. В этом случае соблюдается равенство

В то же время точка А поворачивается вокруг Е на угол (2л + + 0i) в положение А". Время поворота на угол 2л — не что иное, как t* (определенное удаленным наблюдателем), так что

Приравнивая (13.8) и (13.9), получаем

t* = t_s/[\+(t_s/T_s)] =86 164 с = 23 ч 56 мин 4 с. (13.10)

Подобным же образом продолжительность средних лунных суток определяется как средний интервал между двумя последователь­ными попаданиями на одну линию центра Земли £, точки А и центра Луны М. На рис. 13.3,6 показаны моменты движения М по круговой орбите вокруг Земли. В течение времени t_M Луна

Q\/2n = t_s/T_s.

(13.8)

01/2л=(*₅-О/<*-

(13.9)

324

325

R_C/R_KB = (1 + 1 /2,2)/( 1 — 1/2,2) = 3. (13.15)

На практике различные динамические и локальные эффекты вызывают несоответствие реальных приливов этой упрощенной модели, отношение высот R_c/Rkb чаще всего приближается к двум. Сизигийные приливы во время перигея Луны имеют большую высоту, чем при ее апогее, а комбинация эффектов, включающих ветровой нагон, может стать причиной необычайно высоких при­ливов.

2. Усиление приливов

Обычный прилив в открытом океане имеет высоту менее 1 м и не пригоден для целей энергетики. Однако вблизи ряда эстуа­риев и некоторых других природных образований высоты прили­вов увеличиваются. Это может происходить за счет эффекта ворон­ки (напоминает усиление звуковых волн в сужающемся канале старомодного стетоскопа) и за счет резонансного совпадения естественных частот движения водных масс и соответствующих бассейнов на побережье.

Приливное движение в море имеет форму движущейся волны, называемой приливной волной. В этой волне, длина которой довольно велика, если сравнивать с глубиной моря, весь столб воды от поверхности до дна движется с одинаковой скоростью (рис. 13.4). Движение непрерывно распространяющейся естествен­ной приливной волны имеет скорость с, связанную с ускорением силы тяжести и глубиной моря h соотношением c = (gH)^/l. Есте­ственно, что вынужденное движение приливных волн, вызванных притяжением Луны и Солнца, не подчиняется требованиям усло­вия свободного распространения волн и что в открытом океане не происходит резонансного усиления этого вынужденного движе­ния. Резонансы могут возникать в некоторых эстуариях и заливах, однако это не единственная причина значительных изменений в приливном движении. Землетрясения в толще океанского дна или извержения подводных вулканов могут вызвать свободно распространяющуюся «приливную волну», называемую цунами, но такая волна лишь по форме движения похожа на приливную.

Вообразим слой воды глубиной Л, шириной 6, толщиной Дх. и с подъемом уровня поверхности над средним положением z. Изменение положения уровня поверхности на толщине Ах, равное

^zf ^ z

X

Лх

Z-~h

I ^и Рис. 13.4. Движение воды в при- I 1-^. ливной волне: и — скорость; h — 1 I-»- глубина

326

Таким образом, уравнение движения слоя в форме второго закона динамики Ньютона при скорости и имеет вид

Разность потоков жидкости, втекающей в слой и вытекающей из слоя, должна компенсироваться изменением во времени его объе­ма, выполнение требования сохранения массы определяется уравнением неразрывности вида

Резонансное усиление приливов в эстуариях и заливах анало­гично тому, как это происходит при резонансе звуковых волн в акустических резонаторах (рис. 13.5).

Резонанс для приливной волны, надвигающейся со стороны открытого моря, наступает, когда

где / — нечетное целое.

Соответствующая резонансная частота f_r и период Т_г связаны

(13.16)

(13.17)

ди

W

g

dz_ дх ’

(13.18)

[±{А + bz)u] Ах =^~ = ?-^[(Л +^^х]. (13.19)

Так как A=bh — константа и A^bz, то

а ди .dz ди 1 dz

дх dt ’ дх h dt ’

Из (13.18) и (13.20) следует, что

д²и d²z д²и 1 d²z

dtdx ® дх² дхд* h dt²

Таким образом,

(13.20)

(13.21)

— =gh— = г—,

dt² дх² дх²

(13.22)

а это и есть уравнение движения волны со скоростью

c = {gh)^h.

(13.23)

L = jX/4,

(13.24)

327

АЛ

Открытое

море

I

^

*777777777777/

У. Суша

Рис. 13.5. Резонансное усиление при­ливной волны в эстуарии, вид в плане. Идеализированный залив глубиной h и длиной L—X/4 (четвертьволновый резонатор)

между собой следующим образом:

f_r=\/T_r = c/k. (13.25)

Отсюда

Т г ==Х/с = AL/j(gh)^/2. (13.26)

Резонанс возникает, когда период собственных колебаний соот­ветствующего бассейна оказывается равным (кратным) периоду вынужденных колебаний прилива в открытом море Г/, в этом случае

= -±-=Ш^/гТ,. (13.27)

(gh)¹ А ⁴

Полусуточный период прилива равен 12 ч 25 мин (45 000 с), та­ким образом, для случая / = 1 (основная гармоника) резонанс наступает, когда

L/ft'^/2 = (45 ООО с) (9,8 м/с²)⁷74=36 ООО м⁷\ (13.28)

Пример 13.1. Эстуарий р. Северн между Уэлсом и Великобританией имеет протяженность около 200 км при глубине около 30 м, так что для него

L/Л ^/2«36 400 м'^/2. (13.29)

В этом примере видно близкое совпадение собственной частоты эстуария с характерной частотой прилива, в результате чего в указанном эстуарии достигаются значительные амплитуды при­ливного* движения, высота прилива здесь доходит до 10—14 м.

На практике эстуарии и заливы, конечно, не имеют таких однозначно определенных размеров, какие использованы в при­мере. Поэтому анализ резонансных условий сильно усложня­ется. Стало необходимым проводить моделирование природных условий в лабораторных волновых бассейнах с использованием соответствующей техники масштабирования и путем теоретичес­кого анализа. Это очень важно в связи с тем, что одним из основных вопросов при проектировании приливных энергоузлов является выяснение того, как дамба и плотина будут влиять на резонансные условия в бассейне. Некоторые расчеты, выполнен­ные для эстуария р. Северн, показали возможность уменьшения и увеличения высоты приливов в зависимости от «размещения ПЭС. Строительство ПЭС слишком дорого, чтобы позволить разработчикам ошибаться.

328