Разложение функций в степенные ряды
Ряд
Тейлора для функции одной переменной.
Всякая функция, бесконечно дифференцируемая
в интервале
,
т.е.
,
может быть разложена в этом интервале
в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора
,
если в этом интервале выполняется условие
,
где
–– остаточный член формулы Тейлора
(или остаток ряда),
,
.
При
получается ряд Маклорена:
.
Если
в некотором интервале, содержащем точку
,
при любом n
выполняется неравенство
,
где M
–– положительная постоянная, то
и функция
разложима в ряд Тейлора.
Приведем разложения в ряд Маклорена следующих функций:
;
(4)
;
(5)
;
(6)
.
(7)
Это последнее разложение имеет место:
при
, если
;
при
, если
;
при
, если
.
В
частности при
,
получаем
.
(8)
При
получаем
.
(9)
При
имеем:
;
(10)
;
(11)
.
(12)
Пример
20. Разложить в ряд Маклорена функцию
.
Решение.
Так как
,
то заменяя
на
в разложении (4) получаем
.
Пример
21. Записать ряд Маклорена функции для
.
Решение.
Так как
,
то,
воспользовавшись формулой (11), в которой
заменим
на
,
получим
,
или
.
Ряд сходится, если
,
т.е.
.
Пример
22. Разложить в ряд Маклорена функцию
.
Решение. Воспользуемся формулой (8). Так как
,
то,
заменив
на
в формуле, получим
,
или
,
где
,
т.е.
.
Пример
23. Разложить в ряд по степеням x
функцию
.
Решение. Найдем значения функции и ее производных при :
, 
,
, 
,
, 
…………………………………..
; 
.
Так
как
,
то при фиксированном x
имеет место неравенство
для любого n.
Следовательно, функция может быть
представлена в виде суммы ряда Маклорена:
.
В
данном случае
.
Это разложение можно получить и иначе: достаточно в разложении
заменить
на
.
Пример
24. Разложить
в ряд по степеням
.
Решение.
В разложении
заменим
на
;
получим
.
Пример
25. Разложить
в ряд по степеням
.
Решение.
Воспользуемся равенством
.
Правую часть этого равенства можно
рассматривать как сумму бесконечно
убывающей геометрической прогрессии
с первым членом
и знаменателем
.
Отсюда получаем
,
т.е.
.
Так
как
,
то
.
Варианты для самостоятельной работы на тему: ряды
Вариант 1
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2.
Вычислить сумму ряда с точностью
= 0,01
.
3. Разложить в ряд по степеням х функцию f(x) = ln(x + 2) и определить область сходимости.
4. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
5.Найти область сходимости функционального ряда
Вариант 2
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,01
.
3. Функцию f(x) = 3x разложить по степеням (x – 1) и найти область сходимости.
4.
С помощью разложения подынтегральной
функции в степенной ряд вычислить
приближенно интеграл с точностью до
0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
5. Найти область сходимости функционального ряда
.
Вариант 3
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,001
.
3.
Вычислить
с точностью до 0,0001.
4. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
5. Найти область сходимости функционального ряда
.
Вариант 4
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,001
.
3. Разложить в ряд по степеням х функцию f(x) = cos2 x5 и определить область сходимости.
4. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
5. Найти область сходимости функционального ряда
.
Вариант 5
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,01
.
3.
Пользуясь разложением функции в ряд
Тейлора, найти значение пятой производной
функции
при х=0.
4. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
5. Найти область сходимости функционального ряда
.
Вариант 6
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,0001
.
3. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) = cos2x3 и определить область сходимости.
4. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
5. Найти область сходимости функционального ряда
.
Вариант 7
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,1
.
3.
Разложить по степеням х
функцию
и найти радиус сходимости.
4. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
5. Найти область сходимости функционального ряда
.
Вариант 8
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
.; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,1
.
Разложить функцию f(x) = x2e-x в ряд по степеням х и вычислить с точностью до 0,0001 значение этой функции при х = 0,5.
Найти область сходимости функционального ряда
.
5. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
Вариант 9
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,001
.
3. Используя разложение функций в степенные ряды, вычислить
.
4. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
Найти область сходимости функционального ряда
.
Вариант 10
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,0001
.
3. Разложить функцию f(x) = e2x в ряд по степеням (х – 3). Определить область сходимости.
4. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
5. Найти область сходимости функционального ряда
.
Вариант 11
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,001
.
3.
Вычислить приближенно
,
взяв четыре члена разложения, и оценить
погрешность.
4. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
5. Найти область сходимости функционального ряда
.
Вариант 12
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,01
.
3.
Найти
используя разложение функций в степенной
ряд.
4. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
5. Найти область сходимости функционального ряда
.
Вариант 13
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,0001
.
3. Найти область сходимости функционального ряда
.
4.
Вычислить приближенно
взяв четыре члена разложения, и оценить
погрешность.
5. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
Вариант 14
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,1
.
3. Найти область сходимости функционального ряда
.
4.
Используя разложение функций в степенной
ряд, вычислить
.
5. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
Вариант 15
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,001
3. Найти область сходимости функционального ряда
4.
Вычислить приближенно
взяв четыре члена разложения, и оценить
погрешность.
5. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
Вариант 16
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,01
.
3. Найти область сходимости функционального ряда
.
4. Найти предел, используя разложение функции в степенной ряд,
.
5. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
Вариант 17
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,00001
.
3. Найти область сходимости функционального ряда
.
4.
Разложить функцию
по степеням (x – 2).
Определить
область сходимости.
5. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
Вариант 18
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,001
.
3. Найти область сходимости функционального ряда
.
4. Найти предел, используя разложение функции в степенной ряд
.
5. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
Вариант 19
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,001
.
3. Найти область сходимости функционального ряда
.
4.
Разложить в ряд по степеням функцию
.
Определить
область сходимости.
5. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.
Вариант 20
1. Исследовать на сходимость ряды:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
2. Вычислить сумму ряда с точностью = 0,001
.
3. Найти область сходимости функционального ряда
.
4.
Вычислить приближенно
с точностью до 0,001.
5. С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд вычислить приближенно интеграл с точностью до 0,001, взяв необходимое число слагаемых,
.