Пример 3. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Так как , т.е. , то ряд расходится (не выполняется необходимый признак сходимости).

Пример 4. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда , т.е. ряда . Но последний ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Следовательно, исходный ряд сходится.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Сравним ряд с гармоническим рядом, у которого : . Следовательно, данный ряд расходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Здесь удобно применить радикальный признак Коши, поскольку , а предел последней дроби находится просто:

.

Так как , то ряд сходится.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Применим признак Даламбера; имеем , , ; значит

.

Так как , то ряд расходится.

Пример 8. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Имеем , , , , –– ряд сходится.

Пример 9. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Применим интегральный признак Коши:

, ,

.

Интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд.

Пример 10. Исследовать сходимость ряда

.

Решение. Первое условие признака Лейбница выполняется: ; с другой стороны, , . Так как , то не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Ряд расходится.

Пример 11. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Общий член ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится.

Пример 12. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Составим ряд из абсолютных величин: .

Этот ряд есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и, следовательно, сходится. Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно.

Пример 13. Вычислить приближенно сумму ряда .

Решение. Данный ряд лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать: . Взяв пять членов, т.е. заменив S на

,

сделаем ошибку, меньшую, чем . Итак, .

2. Функциональные ряды

1. Область сходимости функционального ряда

Ряд называется функциональным, если его членами являются функции от некоторого аргумента x:

. (3)

При конкретных значениях x, подставляемых в ряд (3), получаются различные числовые ряды, которые могут сходиться или расходиться. Совокупность всех значений x, при которых функциональный ряд (3) сходится, называется областью сходимости функционального ряда. Для некоторых x ряд может сходиться абсолютно, для некоторых условно. Поэтому различают также области абсолютной и условной сходимости функционального ряда.

При нахождении областей сходимости можно использовать все известные признаки сходимости. Как это делается, рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 14. Найти область сходимости ряда .

Решение. Данный ряд представляет собой бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем . Так как прогрессия сходится лишь при , то данный ряд сходится, и притом абсолютно, при , то есть , и, следовательно, неравенство определяет область сходимости исходного ряда.

Пример 15. Найти область сходимости ряда .

Решение. При сходимость ряда очевидна. Пусть . Применим признак Даламбера. И так как этот признак применим лишь для рядов с положительными членами, то исследуем ряд сразу на абсолютную сходимость. Здесь

; ;

.

Ряд сходится, и притом абсолютно, при . При ряд расходится. При признак Даламбера ответа не дает, и, следовательно, при ряд нужно исследовать особо. При получается гармонический ряд , он расходится. При получается сходящийся ряд Лейбница . Таким образом, область сходимости данного ряда определяется неравенством .

Пример 16. Найти область сходимости ряда .

Решение. Данный ряд –– бесконечная геометрическая прогрессия с знаменателем . Следовательно, ряд расходится при всех действительных значениях x.

Пример 17. Найти область сходимости ряда .

Решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость с помощью радикального признака Каши. Здесь ;

при всех x.

Следовательно, ряд сходится абсолютно в бесконечном промежутке . Этим неравенством и определяется область сходимости данного ряда.

Пример 18. Найти область сходимости ряда .

Решение. Применяем признак Даламбера. У нас ; .

Вычисляем

;

При

,

так как .

При сходимость ряда очевидна, то заключаем, что при всех ряд сходится, и притом абсолютно. При получаются ряды вида , не удовлетворяющие необходимому признаку сходимости и, следовательно, расходящиеся. Таким образом, область сходимости данного ряда состоит из всех .

Пример 19. Найти область сходимости ряда .

Решение. При всех x справедливо неравенство . Ряд с общим членом сходится. Следовательно, данный функциональный ряд сходится абсолютно при всех x, согласно первому признаку сравнения.